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RECHERCHES

tion ${\frac {k}{p}}$ (n^o 193), aura le même signe que $a$ ou $a'$, ainsi l’on aura

${\frac {1}{m}}a'\nu ,\ {\frac {1}{m}}a\nu ,\ {\frac {1}{m}}(\tau +b\nu )=\beta ^{(\mu )},\ \gamma ^{(\mu )},\ \delta ^{(\mu )}$ respectivement ;

mais comme on a $\nu <U$, c’est-à-dire, $\nu <{\frac {\gamma ^{(n)}m}{a}}$, et $>0$, on aura $\gamma ^{(\mu )}<\gamma ^{(n)}$ et $>0$ ; d’où il suit que les quantités $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$, etc. allant toujours en croissant, $\mu$ tombera entre $0$ et $n$ exclusivement ; mais la forme $f^{(\mu )}$, qui correspond à l’accent $\mu$ est identique avec la forme $f$, ce qui est absurde, puisque toutes les formes $f$, $f'$, $f''$, etc. jusqu’à $f^{(n-1)}$ sont supposées différentes. Donc $T$ et $U$ sont les plus petites valeurs de $t$ et $u$, excepté $m$ et $0$.

Exemple. Si $D=79$ et $m=1$, on pourra employer la forme réduite $(3,8,-5)$, pour laquelle $n=6$ et $\alpha ^{(n)}=-8$, $\gamma ^{(n)}=-27$, $\delta ^{(n)}=-152$ (n^o 188) ; d’où résultent $T=80$ et $U=9$, qui sont les plus petites valeurs de $t$ et $u$ qui satisfassent à l’équation $t^{2}-79u^{2}=1$.

199. On peut trouver des formules encore plus commodes pour la pratique. En effet, on aura $2b\gamma ^{(n)}=-a(\alpha ^{(n)}-\delta ^{(n)})$, en multipliant (n^o ) l’équation (19) par $2b$, l’équation (20) par $a$, et changeant les caractères comme nous l’avons fait, on tire de là $\alpha ^{(n)}+\delta ^{(n)}=2\delta ^{(n)}-{\frac {2b}{a}}\gamma ^{(n)}$, et partant

$\pm T=m\left(\delta ^{(n)}-{\frac {b}{a}}\gamma ^{(n)}\right)$,___$\pm U={\frac {\gamma ^{(n)}m}{a}}.$

On tirera de même des équations (20) et (21)

$\pm T=m\left(\alpha ^{(n)}-{\frac {b}{a}}\beta ^{(n)}\right)$, ___$\pm U={\frac {\beta ^{(n)}m}{a'}}.$

Ces formules deviennent très-commodes, parcequ’on a $\gamma ^{(n)}=\delta ^{(n-1)}$, $\alpha ^{(n)}=\beta ^{(n-1)}$, et qu’en se servant de la première, il suffira de calculer la suite $\delta ,$ $\delta ',$ $\delta ''$, etc., et qu’en se servant de la seconde, il suffira de calculer la suite $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, etc. En outre, on déduit facilement du n^o 189, 3^o ., que $n$ étant pair, $\alpha ^{(n)}$ et ${\frac {b}{a'}}\beta ^{(n)}$ au-