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ARITHMÉTIQUES.

une d’elles et à une seule. Il suit évidemment de là, que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu’il y a de périodes, en renfermant dans la première toutes celles qui sont proprement équivalentes à $F$, dans la seconde, toutes celles qui sont proprement équivalentes à $G$, etc. Ainsi toutes les formes renfermées dans la même classe, seraient proprement équivalentes, mais deux formes prises dans des classes différentes ne le seront pas. Au reste nous n’insisterons pas davantage ici sur ce sujet, que nous expliquerons plus bas avec détail.

196. Problème. Étant données deux formes $\Phi$ et $\varphi$ proprement équivalentes, trouver une transformation propre qui change l’une en l’autre.

Par la méthode du n^o 183, on peut trouver deux suites de $\Phi$, $\Phi ',$ $\Phi ''$ …$\Phi ^{(n)},$ $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, … $\varphi ^{(\nu )}$, telles que chacune des formes soit équivalente à celle qui la précède, et que les dernières $\Phi ^{(n)}$ et $\varphi ^{(v)}$ soient des formes réduites ; et comme $\Phi$ et $\varphi$ sont supposées équivalentes, $\Phi ^{(n)}$ doit se trouver dans la période de $\varphi ^{(\nu )}$. Soit $\varphi ^{(\nu )}=f$ et sa période prolongée jusqu’à la forme $\Phi ^{(n)}$ : $f$, $f'$, $f''$, ……$f^{(m-1)}$, $f^{(m)}$, desorte que $\Phi ^{(n)}=f^{(m)}$ ; et désignons par $\Psi$, $\Psi '$, $\Psi ''$ …$\Psi ^{(n)}$ les formes opposées (n^o 159) aux associées des formes $\Phi$, $\Phi '$, $\Phi ''$ …$\Phi ^{(n)}$, respectivement ; alors dans la suite $\varphi ,$ $\varphi ',$ $\varphi '',\dots ,$ $f,$ $f',$ $f'',$ $f^{(n-1)},$ $\Psi ^{(n-1)},$ $\Psi ^{(n-2)}\dots$ $\Psi ,$ chaque forme est contiguë par la dernière partie à celle qui la précède ; d’où, par le n^o 177, on pourra trouver une transformation de la première $\varphi$ en la dernière $\Phi$. Cette liaison entre les formes est évidente depuis $\varphi$ jusqu’à $f^{(m-1)}$, et depuis $\Psi ^{(n-2)}$ jusqu’à $\Phi$. Quant aux formes $f^{(m-1)}$ et $\Psi ^{(n-1)}$, on la prouvera comme il suit : soit $f^{(m-1)}=(g,h,i)$ ; $f^{(m)}=\Phi ^{(n)}=(g',h',i')$, $\Phi ^{(n-1)}=(g'',h'',i'')$. La forme $(g',h',i')$ sera contiguë par la dernière partie à chacune des formes $(g,h,i)$, $(g'',h'',i'')$ ; ainsi $i=g'=i''$, et $-h\equiv h'-h''{\pmod {i=g'=i''}}$ ; donc la forme $(i'',-h'',g'')=\Psi ^{(n-1)}$ est contiguë par la dernière partie à la forme $(g,h,i)=f^{(m-1)}$.

Si les formes $\Phi$ et $\varphi$ sont improprement équivalentes, la forme $\varphi$ sera proprement équivalente à la forme dont $\Phi$ est l’opposée ; ainsi on pourra trouver une transformation de $\varphi$ en cette forme ; et si elle se fait par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on voit facilement

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