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RECHERCHES

férence entre ${\frac {'\gamma }{'\alpha }}$ et $L'$ est moindre que ${\frac {1}{''\alpha '\alpha }}$, etc. Ainsi les fractions ${\frac {\gamma }{\alpha }}$, ${\frac {'\gamma }{'\alpha }}$, etc. approchent de $L'$ de plus en plus et continuellement, et la différence peut être rendue plus petite qu’aucune quantité donnée.

Dans l’exemple du n^o 188, on a $L={\frac {{\sqrt {79}}-8}{3}}=0,2960648$, et les fractions convergentes sont : ${\frac {0}{1}}$, ${\frac {1}{3}}$, ${\frac {2}{7}}$, ${\frac {3}{10}}$, ${\frac {5}{17}}$, ${\frac {8}{27}}$, ${\frac {45}{152}}$, ${\frac {143}{483}}$, etc. Or cette dernière est égale à $0,2960662$. De même $L'={\frac {-{\sqrt {79}}+8}{5}}=-0,1776388$, les fractions convergentes sont : ${\frac {0}{1}}$, $-{\frac {1}{5}}$, $-{\frac {1}{6}}$, $-{\frac {2}{11}}$, $-{\frac {3}{17}}$, $-{\frac {8}{46}}$, $-{\frac {27}{152}}$, $-{\frac {143}{805}}$, etc., dont la dernière est égale à $0,1776397$.

193. Théorème. Si les formes réduites $\mathrm {f}$ et $\mathrm {F}$ sont proprement équivalentes, chacune d’elles est contenue dans la période de l’autre.

Soit $f=(a,b,-a')$, $F=A,B,-A')$, $D$ leur déterminant commun, et supposons que la première se change en la deuxième par la substitution propre $k$, $l$, $p$, $q$. Je dis qu’en cherchant la période de la forme $f$, et en calculant dans les deux sens la progression indéfinie des formes réduites et des transformations de $f$ en ces différentes formes, comme au n^o 188, ou bien $k$ sera égal à un des termes de la suite … $''\alpha$, $'\alpha$, $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$…, et en le supposant $=\alpha ^{m}$, on aura $k=\beta ^{m}$, $p=\gamma ^{m}$, $q=\delta ^{m}$ ; ou bien $-k$ sera égal à un certain terme $\alpha ^{m}$, et $-l$, $-p$, $-q$, à $\beta ^{m}$, $\gamma ^{m}$, $\delta ^{m}$, respectivement. Dans l’un ou l’autre cas, $F$ sera évidemment identique avec $f^{m}$.

I. On a quatre équations :

(1)…	$ak^{2}+2bkp-a'p^{2}=A,$-	(2)…	$akl+b(kq+pl)+a'pq=B$,
(3)…	$al^{2}+2blq-a'q^{2}=-A',$-	(4)…	$kq-pl=1,$

considérons d’abord le cas où quelqu’un des nombres $k$, $l$, $p$, $q$ est $=0$.

1^o . Si $k=0$, l’équation (4) donne $lp=-1$, et partant $l=\pm 1$, $p=\pm 1$. Donc l’équation (1) devient $-a'=A$ ; l’équation (2) $-b\pm a'q=B$ ou$B\equiv -b{\pmod {a'\ ou\ A}}$. D’où il suit que la