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RECHERCHES

Il faudrait rejeter celle de ces quatre équations dans laquelle le dénominateur du premier membre serait nul ; mais il faut déterminer ici les signes dont les radicaux doivent être affectés. Or il est évident que dans les équations (3) et (4), on doit prendre le signe supérieur quand ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ sont de même signe que $a$, car en prenant le signe inférieur ${\frac {a\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {a\beta }{\delta }}$ deviendraient négatifs ; mais comme $A$ et $A'$ sont de même signe, ${\sqrt {D}}$ tombe entre ${\sqrt {\left(D+{\frac {\alpha A}{\gamma ^{2}}}\right)}}$ et ${\sqrt {\left(D-{\frac {\alpha A'}{\delta ^{2}}}\right)}}$, et parconséquent, dans ce cas, ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}$ entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$.

On voit de même, dans les équations (5) et (6), qu’il faut prendre nécessairement les signes inférieurs quand ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ sont tous les deux de signes contraires à $a'$ ou $a$, puisqu’en prenant le signe supérieur, les produits ${\frac {a'\gamma }{\alpha }}$, ${\frac {a'\delta }{\beta }}$ deviendraient positifs d’où il suit sans difficulté que ${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombe dans ce cas entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$. Si l’on pouvait faire voir avec la même facilité, dans les équations (3) et (4), que l’on doit prendre les signes inférieurs quand ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ sont de signe contraire à $a$, et dans les équations (5) et (6), que l’on doit prendre les signes supérieurs quand ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ sont de même signe que $a'$ ou $a$ ; il s’ensuivrait de la même manière, que dans le premier cas ${\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}$ tombe entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$, et que dans le second ${\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombe entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$, ce qui compléterait la démonstration du théorème. Mais quoique cela ne soit pas difficile, comme pour y parvenir on ne pourrait éviter certains embarras, nous préférons la méthode suivante.

Quand aucun des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ n’est $=0$, ${\displaystyle }$ et ${\displaystyle }$ ont les mêmes signes que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$, et l’on sait que si ces deux dernières