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ARITHMÉTIQUES.

$'b\equiv -b{\pmod {'c}}$, et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp c$, $'a={\frac {'b^{2}-D}{'c}}$, $('a,'b,'c)$ sera une forme réduite. Il est manifeste d’ailleurs qu’elle est contiguë par la première partie à la forme $(a,b,c)$, et que nulle autre forme réduite ne peut jouir de la même propriété.

Exemple. Soit la forme réduite $(5,11,-14)$ dont le déterminant est $191$, on trouvera les réduites $(-14,3,13)$ $(-22,9,5)$, dont la première est contiguë à $(5,11,-14)$ par la dernière partie, et la seconde par la première partie.

7^o. Si la forme réduite $(a',b',c')$ est contiguë par la dernière partie à la forme $(a,b,c)$, la réduite $(c',b',a')$ sera contiguë par la première partie à la réduite $(c,b,a)$ et si la réduite $('a,'b,'c)$ est contiguë par la première partie à la réduite $(a,b,c)$, la réduite $('c,'b,'a)$ sera contiguë par la dernière partie à la réduite $(c,b,a)$. Or les formes $(-'a,'b,-'c)$, $(-a,b,-c)$, $(-a',b,-c')$ seront des réduites, et la seconde sera contiguë à la première, la troisième à la seconde, par la dernière partie ; ou bien, la première sera contiguë à la seconde, la seconde à la troisième, par la première partie. Il en est de même des formes $(-c',b',-a')$, $(-c,b,-a)$, $(-'c,'b,-'a)$, Ces vérités sont si évidentes, qu’elles n’ont pas besoin d’explication.

185. Le nombre des formes réduites d’un déterminant donné $D$ est toujours fini, et elles peuvent se trouver de deux manières. Représentons indéfiniment par $(a,b,c)$ toutes les formes réduites dont le déterminant est $D$, ensorte qu’il s’agisse de trouver toutes les valeurs de $a$, $b$, $c$.

Première méthode. On prendra pour $a$ tous les nombres plus petits que $2{\sqrt {D}}$ soit positivement, soit négativement, dont $D$ est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de $a$, on fera $b$ égal aux différentes valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}$ comprises entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a$, et $c={\frac {b^{2}-D}{a}}$. S’il en résulte quelques formes dans lesquelles $\pm a$ sorte des limites ${\sqrt {D}}+b$ et${\sqrt {D}}-b$, il faudra les rejeter.

Deuxième méthode. On prendra pour $b$ tous les nombres positifs $<{\sqrt {D}}$ pour chaque valeur de $b$, on décomposera $b^{2}-D$ de

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