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ARITHMÉTIQUES.

aussi $A<{\sqrt {D}}$ ; donc ${\sqrt {D}}\mp A$ sera positif, et partant, $B$ qui est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp A$.

4^o . Donc, à plus forte raison, ${\sqrt {D}}+B\mp A>0$ ; et comme ${\sqrt {D}}-B{\sqrt {D}}\pm A=-q$, $\pm A$ sera compris entre les limites ${\sqrt {D}}+B$ et${\sqrt {D}}-B$.

Exemple. Soit la forme $(67,97,140)$ dont le déterminant est $29$ ; on trouvera la suite des formes : $(67,97,140)$, $(140,-97,67)$ $(67,-37,20)$, $(20,-3,-1)$, $(-1,5,4)$. La dernière est la forme cherchée.

Nous appellerons formes réduites les formes $(A,B,C)$, dans lesquelles $A,$ pris positivement, est compris entre ${\sqrt {D}}+B$ et ${\sqrt {D}}-B,$ $B$ étant positif et $<{\sqrt {D}},$ et le déterminant $D$ étant positif et non quarré. Ces formes réduites diffèrent un peu de celles dont le déterminant est négatif ; mais à cause de leur grande analogie, nous n’avons pas voulu introduire des dénominations différentes.

184. Si l’on pouvait reconnaître l’équivalence de deux formes réduites de déterminant positif, aussi facilement que nous l’avons fait pour celles de déterminant négatif (n^o 172), on reconnaîtrait sans peine l’équivalence de deux formes quelconques de déterminant négatif : mais ici la chose est bien différente, et il peut arriver qu’un grand nombre de formes réduites soient équivalentes entre elles. Ainsi, avant d’entreprendre cette recherche, il est nécessaire d’examiner plus à fond la nature des formes réduites (de déterminant positif non quarré, ce qu’on doit toujours sous-entendre dans ce que nous aurons à dire).

1^o . Si $(a,b,c)$ est une forme réduite, $a$ et $c$ seront de signe contraire ; car en nommant $D$ le déterminant, on aura $ac=b^{2}-D$ et partant négatif, puisque $b<{\sqrt {D}}$.

2^o . Le nombre $C$ pris positivement, est, ainsi que $a$, compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$ ; car $-c={\frac {D-b^{2}}{a}}$ ; donc, abstraction faite du signe, $c$ sera compris entre ${\frac {D-b^{2}}{{\sqrt {D}}+b}}={\sqrt {D}}-b$ et ${\frac {D-b^{2}}{{\sqrt {D}}-b}}={\sqrt {D}}+b$

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