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RECHERCHES

2^o . Pour qu’un nombre puisse être représenté par la forme $x^{2}+2y^{2},$ $x$ et $y$ étant premiers entre eux, il faut que ce nombre ait $-2$ pour résidu. Soit donc $M$ un nombre qui ait $-2$ pour résidu, et soit $N$ une valeur de ${\sqrt {-2}}{\pmod {M}}\,;$ alors (n^o 176) les formes $(1,0,2),$ $\left(M,-N,{\frac {N^{2}+2}{M}}\right)$ seront proprement équivalentes. Supposons que la première se change en la seconde par la transformation propre $x=\alpha x'+\beta y',$ $y=\gamma x'+\delta y',$ on aura deux représentations $x=\pm \alpha ,$ $y=\pm \gamma$ du nombre $M$ appartenantes à la valeur $N,$ et il n’y en aura pas d’autres (n^o 180 — 1^o .) D’ailleurs on voit, comme ci-dessus, que les représentations qui appartiennent à $-N$ sont $x=\pm \alpha ,$ $y=\mp \gamma .$ Mais ces quatre représentations ne donnent qu’une seule décomposition du nombre $M$ en un quarré et le double d’un quarré, et si l’expression ${\sqrt {-2}}{\pmod {M}}$ n’a pas d’autres valeurs que $N$ et $-N,$ il n’y aura pas d’autre décomposition, De là, à l’aide des propositions du n^o 116, on déduit facilement le théorème suivant :

Tout nombre premier de la forme $8\mathrm {n} +1$ ou $8\mathrm {n} +3,$ peut être décomposé en un quarré et le double d’un quarré, et cela d’une seule manière ; ainsi,

$1$	$=$	$1$	$+$	$0$ ,	—	$3$	$=$	$1$	$+$	$2$ ,	—	$11$	$=$	$9$	$+$	$2$ ,	—	$17$	$=$	$9$	$+$	$8$ ,
$19$	$=$	$1$	$+$	$18$ ,	—	$41$	$=$	$9$	$+$	$32$ ,	—	$43$	$=$	$25$	$+$	$18$ ,	—	$59$	$=$	$9$	$+$	$50$ ,
$67$	$=$	$49$	$+$	$18$ ,	—	$73$	$=$	$1$	$+$	$72$ ,	—	$83$	$=$	$81$	$+$	$2$ ,	—	$89$	$=$	$81$	$+$	$8$ ,
$97$	$=$	$25$	$+$	$72$ ,	—	etc.

Ce théorème, ainsi que plusieurs autres semblables, était connu de Fermat ; mais Lagrange l’a démontré le premier (Suite des Recherches Arithmétiques. Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin, 1775, p. 323). Euler avait déjà trouvé beaucoup de choses qui appartenaient à ce sujet (Specimen de usu observationum in mathesi purâ. Com. nov. Petr. T. V. ) ; mais la démonstration, complète lui a toujours échappé, p. 220. On peut voir aussi, T. VIII, la dissertation intitulée : Supplementum quorumdam theorematum arithmeticorum.

3^o . Par la même méthode on démontrera que tout nombre dont $-3$ est résidu quad., peut être représenté par la forme $x^{2}+3y^{2}$ , ou par la forme $2x^{2}+2xy+2y^{2},$ de manière que $x$ et $y$ soient