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ARITHMÉTIQUES.

$1$	$=$	$0$	$+$	$1$ ,	—	$5$	$=$	$1$	$+$	$4$ ,	—	$13$	$=$	$4$	$+$	$9$ ,	—	$17$	$=$	$1$	$+$	$16$ ,
$29$	$=$	$4$	$+$	$25$ ,	—	$37$	$=$	$1$	$+$	$36$ ,	—	$41$	$=$	$16$	$+$	$25$ ,	—	$53$	$=$	$4$	$+$	$49$ ,
$61$	$=$	$25$	$+$	$36$ ,	—	$731$	$=$	$9$	$+$	$64$ ,	—	$89$	$=$	$25$	$+$	$64$ ,	—	$97$	$=$	$16$	$+$	$81$ ,
											etc.

Ce théorème élégant a été donné par Fermat, mais Euler est le premier qui l’ait démontré, Comm, nov. Petr. T. V. ann. 1754 et 1755. p. 3. Dans le T. IV, il existe une dissertation sur le même sujet, p. 8 ; mais alors il n’était pas parvenu à son but.

Si donc un nombre de la forme $4n+1$ ne peut pas être décomposé en deux quarrés, ou peut l’être de plusieurs manières, on sera sûr que ce n’est pas un nombre premier.

Mais réciproquement, si l’expression ${\sqrt {-1}}{\pmod {M}}$ a encore d’autres valeurs que $N$ et $-N$ , il y aura d’autres représentations de $M$ . Ainsi, dans ce cas, $M$ peut se décomposer en deux quarrés de plusieurs manières ; par exemple :

65=1+64=16+49,\quad 221=25+196=100+121.

Les autres représentations dans lesquelles $x$ et $y$ prennent des valeurs non premières entre elles, se trouvent facilement par notre méthode. Observons seulement que si le nombre $M$ renferme des facteurs de la forme $4n+3$ , dont on ne puisse pas le délivrer en le divisant par un quarré, ce qui arrivera toutes les fois que le nombre $M$ renfermera des puissances impaires de ces facteurs, il ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés^[1].

↑ Soit le nombre $M=2^{\mu }.S.a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ , etc., ensorte que $a$ , $b$ , $c$ , etc. soient des facteurs premiers inégaux de la forme $4m+1$ , et $S$ le produit de tous les facteurs premiers de la forme $4n+3$ ; cette forme donnée au nombre $M$ convient dans tous les cas ; pour $M$ impair, il suffit de faire $\mu =0$ ; si $M$ ne renferme aucun facteur de la forme $4n+3$ , on fera $S=1$ : si $S$ n’est pas un quarré, $M$ ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés ; mais si $S$ est un quarré, il y aura ${\frac {1}{2}}(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)$ , etc, décompositions de $M$ , lorsque quelqu’un des nombres $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , etc. sont impairs, et il y en aura ${\frac {1}{2}}(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)$ , etc. $+{\frac {1}{2}}$ quand tous les nombres $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , etc. seront pairs, tant qu’on ne fait attention qu’aux quarrés eux-mêmes. Ceux qui ont quelque habitude du calcul des combinaisons, déduiront sans peine de notre théorie générale la démonstration de ce théorème, auquel nous ne pouvons nous arrêter, non plus qu’à d’autres particuliers, (Voyez n^o 105).

[1] Soit le nombre $M=2^{\mu }.S.a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ , etc., ensorte que $a$ , $b$ , $c$ , etc. soient des facteurs premiers inégaux de la forme $4m+1$ , et $S$ le produit de tous les facteurs premiers de la forme $4n+3$ ; cette forme donnée au nombre $M$ convient dans tous les cas ; pour $M$ impair, il suffit de faire $\mu =0$ ; si $M$ ne renferme aucun facteur de la forme $4n+3$ , on fera $S=1$ : si $S$ n’est pas un quarré, $M$ ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés ; mais si $S$ est un quarré, il y aura ${\frac {1}{2}}(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)$ , etc, décompositions de $M$ , lorsque quelqu’un des nombres $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , etc. sont impairs, et il y en aura ${\frac {1}{2}}(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)$ , etc. $+{\frac {1}{2}}$ quand tous les nombres $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , etc. seront pairs, tant qu’on ne fait attention qu’aux quarrés eux-mêmes. Ceux qui ont quelque habitude du calcul des combinaisons, déduiront sans peine de notre théorie générale la démonstration de ce théorème, auquel nous ne pouvons nous arrêter, non plus qu’à d’autres particuliers, (Voyez n^o 105).

[1]