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RECHERCHES

à celle-là. Si les formes $F$, $f$ sont équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations, l’une propre, l’autre impropre. Soit ${\displaystyle }$, ${\displaystyle }$ et $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $A$, $2B$, $C$. Alors, par le n^o 162 il est constant que toutes les transformations de $F$ en $f$ se déduiront d’une seule dans le premier cas, et que dans le second toutes les transformations propres se déduiront d’une transformation propre, et toutes les transformations impropres, d’une transformation impropre, pourvu qu’on ait toutes les solutions de l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$. Dès qu’elles seront trouvées, le problème sera résolu.

Or comme on a $D=AC-B^{2}$, il s’ensuit que $4D=4AC-4B^{2}$, ou ${\frac {4D}{m^{2}}}={\frac {4AC}{m^{2}}}-\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}$ ; donc ${\frac {4D}{m^{2}}}$ est un nombre entier. Cela posé,

1^o . Si ${\frac {4D}{m^{2}}}>4$, on aura $D>m^{2}$, et partant, dans l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$, on a nécessairement $u=0$ et $t=\pm m$. Donc si $F$ et $f$ ne sont équivalentes que d’une manière, et qu’on ait une transformation $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, on n’en trouvera pas d’autres que celle-là même qui résulte de la supposition $t=m$ (n^o 162), et la transformation $x=-\alpha x'-\beta y'$, $y=-\gamma x'-\delta y'$ ; mais si $F$ et $f$ sont équivalentes des deux manières, et qu’on ait une transformation propre $x=-\alpha x'-\beta y'$, $y=-\gamma x'-\delta y'$, et une impropre $x=-\alpha 'x'-\beta 'y'$, $y=-\gamma 'x'-\delta 'y'$, on n’en trouvera pas d’autres que ces deux, qui naissent de la supposition $t=m$, et les deux $x=-\alpha x'-\beta y'$, $y=-\gamma x'-\delta y'$, …$x=-\alpha 'x'-\beta 'y'$, $y=-\gamma 'x'-\delta 'y'$, que fournit la valeur $t=-m$.

2^o . Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=4$ ou $D=m^{2}$, l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$ admettra quatre solutions : $t=m$, $u=0$ ; $t=-m$, $u=0$ ; $t=0$, $u=1$ ; $t=0$, $u=-1$. Donc si $F$, $f$ sont équivalentes d’une seule manière, et qu’on ait la transformation $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=-\gamma 'x'+\delta 'y'$, on en tirera en tout les quatre suivantes :

$x=\pm \alpha x'\pm \beta y'$,	———	$x=\mp {\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}x'\mp {\frac {\beta B+\delta C}{m}}y'$,
$y=\pm \gamma x'\pm \delta y'$,		$y=\pm {\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}x'\pm {\frac {\beta A+\delta B}{m}}y'$ ;

mais