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RECHERCHES

l’équation (3) donne $\beta \gamma =-1$, et partant l’équation (2) devient $b+b'=\pm \delta a$. On pourra supposer seulement ici, comme dans le cas précédent, $b=b'$, ou $b=-b'$. Par la première supposition, les formes $(a,b,c),$ ${\displaystyle }$(a', b’, c') seraient identiques, par la seconde elles seront opposées.

2^o. Si $\alpha =\pm 1$, l’équation (1) donne $a+c-a'=\mp 2b$ ; mais $a$ et $c$ sont tous deux non $<a'$, donc $2b$ sera non $<a$ et non $<c$ ; d’ailleurs on a $2b$ non $>a$ et non $>c$ ; donc nécessairement ${\displaystyle }$. L’équation $a+c-a'=\mp 2b$ donne alors $\pm 2b=a'$, ainsi l’équation (2) devient

$a(\alpha \beta +\gamma \delta )+b(\alpha \delta +\beta \gamma )=b',$

ou comme $\alpha \delta -\beta \gamma =1$,

$b'-b=a(\alpha \beta +\gamma \delta )+2b\beta \gamma )+2b\beta \gamma =a(\alpha \beta +\gamma \delta \mp \beta \gamma ),$

ce qui exige, comme ci-dessus, que $b=b'$, ou que $b=-b'$. Or, dans le premier cas, les formes seraient identiques contre l’hypothèse ; dans le second, elles sont opposées et ambiguës.

Il résulte de cette analyse que les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ ne peuvent être équivalentes, à moins qu’elles ne soient opposées et en même temps ambiguës, ou telles que $a=c=a'=c'$. Il était évident, a priori, que dans ce cas les formes sont proprement équivalentes ; car, comme opposées, elles sont improprement équivalentes, et comme ambiguës, elles le sont aussi proprement. Mais si $a=c$, la forme, $\left({\frac {D+(a-b)^{2}}{a}},a-b,a\right)$ sera contiguë, et partant équivalente à $(a,b,c)$ ; mais comme $D+b^{2}=ac=a^{2}>$, on a ${\frac {D+(a-b)^{2}}{a}}=2a-2b$, et la forme $(2a-2b,a-b,d)$ est ambiguë ; donc $(a,b,c)$ sera aussi proprement équivalente à son opposée.

On juge facilement par là si deux formes réduites $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ non opposées, peuvent être improprement équivalentes. En effet, elles le seront, si $(a,b,c)$ et $(a',-b',c')$ qui ne sont pas identiques, sont proprement équivalentes ; sinon elles ne le seront pas. Il suit de là que les formes proposées, pour être improprement équivalentes, doivent être identiques, et en outre ambiguës, ou telles

qu’on