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ARITHMÉTIQUES.

sion ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ ; les représentations par la forme $(a',b',c')$ appartiendront aux mêmes valeurs, et s’il n’y a aucune représentation du nombre $M$ par une certaine forme, qui appartienne à une certaine valeur donnée, il n’y en aura aucune non plus qui appartienne à cette valeur pour une forme équivalente.

168. Théorème. Si le nombre $\mathrm {M}$ peut être représenté par la forme $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$ en donnant à $\mathrm {x}$ et $\mathrm {y}$ des valeurs $\mathrm {m}$ et $\mathrm {n}$ premières entre elles, et que $\mathrm {N}$ soit la valeur de l’expression $\mathrm {{\sqrt {D}}{\pmod {M}}}$ à laquelle cette représentation appartienne, les formes $\mathrm {(a,b,c)}$ et $\mathrm {\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)}$ seront proprement équivalentes.

Il suit du n^o 155 qu’on peut trouver des nombres entiers $\mu$ et $\nu$ qui satisfassent aux équations

$m\mu +n\nu$	$=$	$1$,
$\mu (bm+cn)-\nu (am+bn)$	$=$	$N\,;$

Cela fait, la forme $(a,b,c)$ se change, au moyen de la substitution $x=mx'-\nu y',$ $y=mx'-\nu y',$ en une forme dont le déterminant $=D(m\mu +n\nu )^{2}=D$, c’est-à-dire en une forme équivalente. Si on suppose cette forme $=(A,B,C),$ on aura $C={\frac {B^{2}-D}{A}},$ d’ailleurs

$A=$	$am^{2}+2bmn+cn^{2}$	$=M,$
$B=-$	$m\nu a+(m\mu -n\nu )b+n\mu c$	$=N$ ;

donc la forme $(A,B,C)$ revient à $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$.

Au reste, des équations

$m\mu +n\nu$	$=$	$1$,
$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)$	$=$	$N$

on déduit

$\mu$	$=$	${\frac {ma+nb+nN}{M}}$,
$\nu$	$=$	${\frac {mb+nc-mN}{M}},$

qui seront ainsi des nombres entiers.

Il faut observer que cette proposition n’a pas lieu quand $M=0,$ car dans ce cas on doit avoir $N^{2}-D=0,$ d’où il suit que ${\frac {N^{2}-D}{M}}$ est indéterminé.

169. Si l’on a plusieurs représentations du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ qui appartiennent à la même valeur $N$ de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$, en supposant toujours les valeurs de $x,\,y$ premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres

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