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ARITHMÉTIQUES.

$me+ma+nb=0$, $ne-na+mc=0$, et qu’on effectue les produits en effaçant les termes qui se détruisent, on trouvera $2m\nu e+b$ ; donc

$m^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2m\nu e+b$…… (9)

De même, si l’on ajoute à $mn(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ la fonction

	$(1-m\mu -n\nu )\{(n\nu -m\mu )e-(1+m\mu +n\nu )a\}$
$-$	$(me+ma+nb)m\mu ^{2}$
$+$	$(ne-na+mc)n\nu ^{2}$

on trouve

$mn(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=(n\nu -m\mu )e-a$………(10).

Enfin si l’on ajoute à $n^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ la fonction

	$(m\mu +n\nu -1)\{n\mu (e+a)+(n\nu +1)c\}$
$-$	$(me+ma+nb)n\mu ^{2}$
$-$	$(ne-na+mc)(n\mu \nu +\mu )$,

on trouve

$n^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=-2n\mu e-c$……… (11)

Donc si l’on multiplie l’équation (9) par $A$, (10) par $2B$ et (11) par $C$, il vient

	$(Am^{2}+2Bmn+Cn^{2})(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$
$=$	$2e\{Am\nu +B(n\nu -m\mu )-Cm\mu \}+Ab-2Ba-Cc$,

ou à cause de l’équation (6),

$M(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2Nr.$

II. Pour prouver que la forme $G$ renferme la forme $F'$ nous démontrerons

1^o . Que $G$ devient $F'$ en posant

$t$	$=$	$(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+(\mu \beta +\nu \delta )y'$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	…… (S).
$u$	$=$	${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )x'+{\frac {r}{r}}(n\beta -m\delta )y'$

2^o . Que ${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )$ et ${\frac {r}{r}}(n\beta -m\delta )y'$ sont entiers.

1^o . Puisque $F$ devient $G$ en posant $x=mt+{\frac {\nu e}{r}}u$, $y=nt-{\frac {\mu e}{r}}u$, la forme $G$ se changera par la transformation (S) en la même forme que celle en laquelle $F$ se changerait en posant

$x$	$=$	${\displaystyle }$	$m(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+m(\mu \beta +\gamma \delta )y'$
		$+$	$\nu (n\alpha -m\gamma )x'+\nu (n\beta -m\delta )y'$
	$=$		$(m\mu +n\nu )\alpha x'+(m\mu +n\nu )\beta y'$
	$=$		$\alpha x'+\beta y'$
$y$	$=$		$n(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+n(\mu \beta +\gamma \delta )y'$
		$-$	$\mu (n\alpha -m\gamma )x'-\mu (n\beta -m\delta )y'$
	$=$		$(m\mu +n\nu )\gamma x'+(m\mu +n\nu )\delta y'$
	$=$		$\gamma x'+\delta y'$