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RECHERCHES

ou $(\alpha +\alpha '):(\gamma +\gamma ')=(\beta +\beta '):(\delta +\delta ')$ . Représentons par ${\frac {m}{n}}$ ce rapport, réduit à sa plus simple expression, de manière que $m$ et $n$ soient premiers entre eux^[1], et soient pris $\mu$ , $\nu$ desorte qu’on ait $\mu m+\nu n=1$ . Soit d’ailleurs $r$ le plus grand commun diviseur de $a$ , $b$ , $c$ , son quarré divisera $bc+a^{2}=bc+ad=-e^{2}$ ; donc $r$ divisera $e$ . Cela posé, si la forme $F$ , par la transformation $x=mt+{\frac {\nu e}{r}}u$ , $y=nt-{\frac {\mu e}{r}}u$ , se change en $Mt^{2}+2Ntu+Pu^{2}$ ……(G), cette forme $G$ sera ambiguë et renfermera $F'$ .

Démonstration. I. Pour faire voir que la forme $G$ est ambiguë, nous démontrerons que $M(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2Nr$ ; car alors $r$ divisant $a,$ $b,$ $c$ , ${\frac {1}{r}}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ sera entier, et partant $2N$ un multiple de $M$ .

Or

$M$	$=$	$Am^{2}+2Bmn+Cn^{2}$ ,
$Nr$	$=$	$\left(Am\nu -B(m\mu -n\nu )-Cn\mu \right)e$ ;

d’ailleurs il est facile de s’assurer que l’on a

$2e+2a$	$=$	$e-e'+a-d$
	$=$	$(\alpha -\alpha ')(\delta +\delta ')-(\beta -\beta ')(\gamma +\gamma ')$
$2b$	$=$	$(\alpha +\alpha ')(\beta -\beta ')+(\alpha -\alpha ')(\beta +\beta ')$ ,

et comme $m(\gamma +\gamma ')=n(\alpha +\alpha ')$ , $m(\delta +\delta ')=n(\beta +\beta ')$ , il en résulte $(2e+2a)n+2nb=0$ , ou

me+ma+nb=0

……… (7)

De même

$2e-2a$	$=$	$e-e'-a+d$
	$=$	$(\alpha +\alpha ')(\delta -\delta ')-(\gamma +\gamma ')(\delta -\delta ')$
$2c$	$=$	$(\gamma +\gamma ')(\delta +\delta ')-(\gamma +\gamma ')(\delta -\delta ')$ ,

d’où $n(2e-2a)+2mc=0$ … ou $ne-na+mc=0$ … (8).

Maintenant si l’on ajoute à $m^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ la fonction

	$(1-m\mu -n\nu )\{m\nu (e-a)+(m\mu +1)b\}$
$+$	$(me+ma+nb)(m\mu \nu +\nu )$
$+$	$(ne-na+mc)m\nu ^{2}$

qui se réduit à zéro, puisque $1-m\mu -n\nu =0$ ,

↑ Si l’on avait à-la-fois $\alpha +\alpha '=0$ , $\gamma +\gamma '$ , $\beta +\beta '=0$ , $\delta +\delta '=0$ , le rapport ${\frac {m}{n}}$ serait indéterminé, et partant la méthode inapplicable. Mais une légère attention suffit pour voir qu’on aurait alors $e=e'$ , et comme d’ailleurs on a $e=-e'$ , il s’ensuivrait $e=e'=0$ ; donc alors le déterminant de la forme $F'$ serait nul, et nous excluons ici les formes de déterminant zéro.

[1] Si l’on avait à-la-fois $\alpha +\alpha '=0$ , $\gamma +\gamma '$ , $\beta +\beta '=0$ , $\delta +\delta '=0$ , le rapport ${\frac {m}{n}}$ serait indéterminé, et partant la méthode inapplicable. Mais une légère attention suffit pour voir qu’on aurait alors $e=e'$ , et comme d’ailleurs on a $e=-e'$ , il s’ensuivrait $e=e'=0$ ; donc alors le déterminant de la forme $F'$ serait nul, et nous excluons ici les formes de déterminant zéro.

[1]