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ARITHMÉTIQUES.

par le quarré d’une indéterminée quelconque, la seconde le double du produit de $b$ et de cette indéterminée multipliée par une autre, et la troisième le produit de $c$ par le quarré de cette seconde indéterminée. Par exemple, $(1,0,2)$ exprimera la somme d’un quarré et du double d’un quarré. Au reste, quoique les formes $(a,b,c)$ et $(c,b,a)$ soient les mêmes, quant à leurs parties, elles diffèrent cependant si l’on fait attention à l’ordre de ces parties ; aussi nous les distinguerons avec soin, et la suite fera voir l’avantage qui en résultera.

154. Nous dirons qu’un nombre donné est représenté par une forme donnée, si l’on peut trouver pour les indéterminées de cette forme des valeurs qui la rendent égale au nombre donné.

Théorème. Si un nombre $\mathrm {M}$ peut être représenté par la forme $\mathrm {(a,b,c)}$ de manière que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles ; $\mathrm {b^{2}-ac}$ sera résidu quadratique de $\mathrm {M} .$

Soit $m$ et $n$ les valeurs des indéterminées, et qu’on ait $am^{2}+2bmn+cn^{2}=M$, et prenons les nombres $\mu$ et $\nu$ tels qu’on ait $\mu m+\nu n=1$ (n^o 40). On prouvera facilement par la multiplication, que

	$\ (am^{2}+2bmn+cn^{2})(a\nu ^{2}-2b\mu \nu +c\mu ^{2})$
$=$	$\left\{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}\right\}-(b^{2}-ac)(m\mu +n\nu )^{2},$

ou

$M(a\nu ^{2}-2b\mu \nu +c\mu ^{2})=\{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}-(b^{2}-ac)\ ;$

donc

$b^{2}-ac\equiv \{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}{\pmod {M}}$

c’est-à-dire que $b^{2}-ac$ est résidu quadratique de $M$.

Nous appellerons par la suite déterminant de la forme $(a,b,c)$ le nombre $b^{2}-ac$, dont nous verrons que dépendent en grande partie les propriétés de cette forme.

155. Il suit de ce qu’on vient de voir que $\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)$ est la valeur de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$. Or $\mu$ et $\nu$ peuvent être déterminés d’une infinité de manières pour satisfaire à l’équation $m\mu +n\nu =1\,;$ il en résultera donc différentes valeurs pour cette expression ; examinons quelles relations elles ont entre elles.