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RECHERCHES

$12n+5$, ou $12n+11$, et que la première revient à $4n+1$ et la seconde à $4n+5$, on a les théorèmes suivant :

I. $-3$ et $+3$ non-résidus de tout nombre premier de la forme $12\mathrm {n} +5$.

II. $-3$ est non-résidu, et $+3$ résidu de tout nombre premier de la forme $12\mathrm {n} +11$.

118. On trouve dans la table II, que les nombres dont $3$ est résidu sont $3,$ $11,$ $13,$ $23,$ $37,$ $47,$ $59,$ $71,$ $73,$ $83,$ $97,$ parmi lesquels aucun n’est de la forme $12n+5$ ou $12n+7$ ; or on démontrera, comme dans les n^os 112, 115, 117, qu’il n’y a absolument aucuns nombres de cette forme dont le résidu soit $+3$ ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas. Nous en conclurons donc à l’aide du n^o  111, les théorèmes suivans ;

I. $+3$ et $-3$ sont non-résidus d’un nombre premier quelconque de la forme $12\mathrm {n} +5$.

II. $+3$ est non-résidu, $-3$ résidu de tout nombre premier de la forme $12\mathrm {n} +7$.

119. Cette méthode n’apprend rien pour les nombres de la forme $12n+1$, qui demandent des artifices particuliers. L’induction fait voir aisément que $+3$ et $-3$ sont résidus de tous les nombres premiers de cette forme. Or il suffit de démontrer que $-3$ l’est effectivement, puisqu’alors $+3$ le sera aussi (n^o  111) ; mais nous allons faire voir plus généralement que $-3$ est résidu de tout nombre premier de la forme $3n+1$.

Soit $p$ un de ces nombres premiers, et $a$ un nombre appartenant à l’exposant $3$, suivant le module $p$ : et il est évident qu’il existe de tels nombres, puisque $3$ divise $p-1$ (n^o  55). On aura ainsi $a^{3}-1\equiv 0{\pmod {p}}$, c’est-à-dire $a^{3}-1=(a-1)(a^{2}+a+1)$ divisible par $p$ ; mais on ne peut pas avoir $a\equiv 1{\pmod {p}}$, parceque $1$ appartient à l’exposant $1$ ; donc $a-1$ n’est pas divisible par $p$, et partant $a^{2}+a+1$ le sera. D’où il s’ensuit que $4a^{2}+4a+4$ le sera aussi, c’est-à-dire qu’on aura $(2a+1)^{2}\equiv -3{\pmod {p}}$, ou que $-3$ sera résidu de $p$.

Au reste il est clair que cette démonstration, qui est indépendante des précédentes, renferme aussi les nombres premiers de la forme $12n+7$, cas que nous avons résolu dans le n^o  précédent.