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2^o. En remplaçant les produits $e^{2}{e'}^{2}$, ${e}^{2}{e''}^{2}$, etc., par leurs valeurs moyennes, c’est-à-dire par $m^{2}{m'}^{2}$, ${m'}^{2}{m''}^{2}$, etc. ;

3^o. En négligeant les produits tels que $e^{3}{e'}$, $e^{2}{e'}{e''}$, etc.

Nous supposerons (art. 16) les valeurs moyennes de $e^{4}$, ${e'}^{4}$, ${e''}^{4}$, etc., proportionnelles à $m^{4}$, ${m'}^{4}$, ${m''}^{4}$, etc., de sorte que les rapports des unes aux autres soient ${\frac {\nu ^{4}}{\mu ^{4}}}$, $\nu ^{4}$ désignant la valeur moyenne des quatrièmes puissances des erreurs pour les observations dont le poids serait l’unité.

Les règles précédentes pourraient se traduire de cette autre manière :

Remplacer chaque quatrième puissance $\varepsilon ^{4}$, ${\varepsilon '}^{4}$, ${\varepsilon ''}^{4}$, etc., par $\nu ^{4}$; chaque produit $\varepsilon ^{2}{\varepsilon '}^{2}$, ${\varepsilon }^{2}{\varepsilon ''}^{2}$, etc., par $\mu ^{4}$, et négliger tous les termes, tels que $\varepsilon ^{3}{\varepsilon '}$ ou $\varepsilon ^{2}{\varepsilon '}{\varepsilon ''}$, $\varepsilon \varepsilon '\varepsilon ''\varepsilon '''$.

Ces principes étant compris, on verra facilement que :

I. La valeur moyenne de ${\Omega ^{0}}^{2}$ est

$\varpi \nu ^{4}+(\varpi ^{2}-\varpi )\,\mu ^{4}.$

II. La valeur moyenne du produit $\varepsilon ^{2}\,x^{0}\,\xi ^{0}$ est

$a\,\alpha \nu ^{4}+(a'\alpha '+a''\alpha ''+\ldots )\,\mu ^{4}=a\,\alpha \,(\nu ^{4}-\mu ^{4})+\mu ^{4},$

car

$a\,\alpha +a'\alpha '+a''\alpha ''+\ldots =1.$

De même, la valeur moyenne de ${\varepsilon '}^{2}\,x^{0}\,\xi ^{0}$ est

$a'\alpha '\,(\nu ^{4}-\mu ^{4})+\mu ^{4};$

la valeur moyenne de ${\varepsilon ''}^{2}\,x^{0}\,\xi ^{0}$ est

$a''\alpha ''\,(\nu ^{4}-\mu ^{4})+\mu ^{4}\,;$

et ainsi de suite.

Donc la valeur moyenne du produit

$(\varepsilon ^{2}+{\varepsilon '}^{2}+{\varepsilon ''}^{2}+\ldots )\,x^{0}\,\xi ^{0}\quad$ ou $\quad \Omega ^{0}\,x^{0}\,\xi ^{0}$

sera

$\nu ^{4}-\mu ^{4}+\varpi \mu ^{4}.$

Les produits $\Omega ^{0}\,y^{0}\,\eta ^{0}$ ou $\Omega ^{0}\,z^{0}\,\zeta ^{0}$, etc., auront la même