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$\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, etc., qui sont

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}\mathrm {A} &{}={}&&{}-{}&{\frac {{\mathcal {L}}^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}&{}-{}&\mathrm {A} '{\frac {{\mathcal {L}}'}{{\mathcal {B}}'}}&{}-{}&\mathrm {A} ''{\frac {{\mathcal {L}}''}{{\mathcal {C}}''}}&{}-{}&\mathrm {A} '''{\frac {{\mathcal {L}}'''}{{\mathcal {D}}'''}}&{}-{}&\ldots ,\\[0.5ex]\mathrm {B} &{}={}&&&&&{}-{}{\frac {{\mathcal {L}}'}{{\mathcal {B}}'}}&{}-{}&\mathrm {B} ''{\frac {{\mathcal {L}}''}{{\mathcal {C}}''}}&{}-{}&\mathrm {B} '''{\frac {{\mathcal {L}}'''}{{\mathcal {D}}'''}}&{}-{}&\ldots ,\\[0.5ex]\mathrm {C} &{}={}&&&&&&&{}-{}{\frac {{\mathcal {L}}''}{{\mathcal {C}}''}}&{}-{}&\mathrm {C} '''{\frac {{\mathcal {L}}'''}{{\mathcal {D}}'''}}&{}-{}&\ldots ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

L’autre calcul est identique avec le calcul ordinaire dans lequel on suppose

${\begin{aligned}u^{0}&=0,&u'&=0,&u''&=0,\ldots .\end{aligned}}$

34.

Les résultats obtenus dans l’art. 32 ne sont que des cas particuliers d’un théorème plus général qui peut s’énoncer de la manière suivante :

Théorème — Si $t$ représente la fonction linéaire suivante des inconnues $x$, $y$, $z$, etc.,

$t=fx+gy+hz+\ldots +k,$

dont l’expression en fonction des variables $u^{0}$, $u'$, $u''$, etc., soit

$t=k^{0}u^{0}+k'u'+k''u''+\ldots +\mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ sera la valeur la plus plausible de $t$, et le poids de cette détermination sera

${\frac {1}{{\mathcal {A}}^{0}{k^{0}}^{2}+{\mathcal {B}}'{k'}^{2}+{\mathcal {C}}''{k''}^{2}+\ldots }}\cdot$

Démonstration. — La première partie du théorème est évidente, puisque la valeur la plus plausible de $t$ doit correspondre aux valeurs

${\begin{aligned}u^{0}&=0,&u'&=0,&u''&=0,\end{aligned}}$$\ldots$.

Pour démontrer la seconde partie, remarquons que l’on a

${\begin{alignedat}{6}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \Omega &{}={}&\xi \,&\mathrm {d} x&&{}+{}&\eta \,&\mathrm {d} y&&{}+{}&\zeta \,&\mathrm {d} z+\ldots ,\\\mathrm {d} t&{}={}&f\,&\mathrm {d} x&&{}+{}&g\,&\mathrm {d} y&&{}+{}&h\,&\mathrm {d} z+\ldots ,\end{alignedat}}$