Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/146

Cette page a été validée par deux contributeurs.
( 132 )

11.

Le sujet que nous avons traité jusqu’ici donnerait lieu à d’élégantes recherches, auxquelles nous ne nous arrêterons pas, pour ne pas trop nous écarter de notre objet principal. Par la même raison, nous réservons pour une autre occasion l’exposition des artifices qui permettent de réduire le calcul à un algorithme plus expéditif. Qu’on nous permette seulement d’ajouter une seule observation.

Lorsque le nombre des fonctions ou des équations proposées est considérable, le calcul est surtout rendu pénible par cette circonstance, que les coefficients par lesquels on doit multiplier les équations primitives pour obtenir , , , , etc., sont presque toujours des fractions décimales compliquées. Si l’on ne croit pas important dans ce cas de calculer ces produits avec le plus grand soin à l’aide des Tables de logarithmes, il suffira le plus souvent de leur substituer des nombres plus simples qui en diffèrent peu. Il ne peut en résulter d’erreurs notables qu’autant que la précision des inconnues devient moindre que la précision des observations primitives.

12.

Au reste, le principe d’après lequel la somme des carrés des différences entre les quantités observées et les quantités calculées doit être un minimum, peut encore s’établir sans recourir au calcul des probabilités, comme il suit.

Lorsque le nombre des inconnues est égal au nombre des observations, on peut déterminer les premières de manière qu’elles satisfassent aux secondes. Mais lorsque le premier nombre est le plus petit des deux, on ne peut obtenir un accord absolu lorsque les observations ne sont pas douées d’une précision absolue. Il faut donc dans ce cas chercher à établir l’accord le plus satisfaisant, c’est-à-dire à faire en sorte que les différences soient atténuées le plus possible. Mais cette idée a par elle-même quelque