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il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {N} ^{10}-\mathrm {N} ^{01}{}={}&\mathrm {\left(N^{00}\,N^{11}-N^{10}\,N^{01}\right)} \,\left(n^{01}-n^{10}\right)\\{}+{}&\mathrm {\left(N^{00}\,N^{12}-N^{10}\,N^{02}\right)} \,\left(n^{02}-n^{20}\right)\\{}+{}&\mathrm {\left(N^{00}\,N^{13}-N^{10}\,N^{03}\right)} \,\left(n^{03}-n^{30}\right)\\{}+{}&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\[0.75ex]{}+{}&\mathrm {\left(N^{01}\,N^{12}-N^{11}\,N^{02}\right)} \,\left(n^{12}-n^{21}\right)\\{}+{}&\mathrm {\left(N^{01}\,N^{13}-N^{11}\,N^{03}\right)} \,\left(n^{13}-n^{31}\right)\\{}+{}&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\[0.75ex]{}+{}&\mathrm {\left(N^{02}\,N^{13}-N^{12}\,N^{03}\right)} \,\left(n^{23}-n^{32}\right)\\{}+{}&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Ce que l’on peut écrire plus brièvement de la manière suivante :

$\mathrm {N} ^{10}-\mathrm {N} ^{01}=\sum \left(\mathrm {N} ^{0\alpha }\,\mathrm {N} ^{1\beta }-\mathrm {N} ^{1\alpha }\,\mathrm {N} ^{0\beta }\right)\left(n^{\alpha \beta }-n^{\beta \alpha }\right)\,;$

$\alpha$, $\beta$ désignant deux indices pris au hasard ; on conclut de là que les égalités

${\begin{aligned}n^{01}&=n^{10},&n^{02}&=n^{20},\end{aligned}}$

et, généralement,

$n^{\alpha \beta }=n^{\beta \alpha },\ldots ,$

entraînent nécessairement

$\mathrm {N} ^{01}=\mathrm {N} ^{10}\,;$

et, comme l’ordre des indéterminées est arbitraire, il est évident que, dans la supposition admise, on aura généralement

$\mathrm {N} ^{\alpha \beta }=\mathrm {N} ^{\beta \alpha }.$

22.

La méthode exposée dans ce Mémoire devant surtout s’appliquer utilement aux calculs de haute géodésie, le lecteur nous saura gré d’y joindre quelques exemples puisés dans cette partie de la science.

Les équations de condition qui existent entre les angles d’un système de triangles, peuvent, en général, se partager en trois catégories.

I. La somme des angles horizontaux, formés autour d’un