Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/663

631

DES MATIÈRES.

Pages	solide infinie, et selon les trois dimensions, se déduit immédiatement de celle du mouvement linéaire. L’intégrale de l’équation
${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}$
	résout la question proposée. Il ne peut y avoir aucune intégrale plus étendue ; elle se déduit aussi de la valeur particulière $v=e^{-n^{2}t}.\cos .nx,$ ou de celle-ci : $v={\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,t}}}{\sqrt {t}}},$ qui satisfont l’une et l’autre à l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\cdot$ La généralité des intégrales que l’on obtient est fondée sur la proposition suivante, que l’on peut regarder comme évidente d’elle-même. Deux fonctions des variables $x,\,y,\,z,\,t$ sont nécessairement identiques, si elles satisfont à l’équation différentielle ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}},$ et si en même temps elles ont la même valeur pour une certaine valeur de $t.$
Art. 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383.
480.	La chaleur contenue dans une partie d’un prisme infini, dont tous les autres points ont une température initiale nulle, commence à se distribuer dans toute la masse ; et après un certain intervalle de temps, l’état d’une partie du solide ne dépend point de la distribution de la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. Ce dernier résultat n’est point dû à l’augmentation de la distance comprise entre un point de la masse et la partie qui avait été échauffée ; il est entièrement dû à l’augmentation du temps écoulé.