Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/650

618

TABLE

Pages
Art. 222, 223.
237.	Application de ce théorême ; on en déduit cette série remarquable : ${\frac {\pi }{4}}\cos .x={\frac {2}{1.3}}\sin .2x+{\frac {4}{3.5}}\sin .4x+{\frac {6}{5.7}}\sin .6x$ $+{\frac {8}{7.9}}\sin .8x+\,\mathrm {etc.}$
Art. 224, 225, 226.
239.	Second théorême sur le développement des fonctions en séries trigonométriques : ${\frac {\pi }{2}}\psi x=\sum _{i=-\infty }^{i=\infty }\cos .ix\int \limits _{0}^{\pi }d\alpha \,\cos .i\alpha \,\psi$ Applications ; on en conclut cette série remarquable : ${\frac {1}{2}}\pi \sin .x={\frac {1}{2}}-{\frac {\cos .2x}{1.3}}-{\frac {\cos .4x}{3.5}}-{\frac {\cos .6x}{5.7}}$ $-{\frac {\cos .8x}{7.9}}-\,\mathrm {etc.}$
Art. 226, 227, 228, 229, 230.
243.	Les théorèmes précédents s’appliquent aux fonctions discontinues, et résolvent les questions qui se sont élevées sur l’analyse de Daniel Bernouilli dans le problême des cordes vibrantes. — La valeur de la série $\sin .x.\sin .\operatorname {vers} .\alpha +{\frac {1}{2}}\sin .2x.\sin .\operatorname {vers} .2\alpha$ $+{\frac {1}{3}}\sin .3x.\sin .\operatorname {vers} .3\alpha +\,\mathrm {etc.}$ est ${\frac {1}{2}}\pi$ si l’on choisit pour $x$ une quantité plus grande que $0$ et moindre que $\alpha \,;$ et la valeur de la série est $0,$ si $x$ est une quantité quelconque comprise entre $\alpha$ et ${\frac {1}{2}}\pi .$ Application à d’autres exemples remarquables ; lignes courbes ou surfaces qui se confondent dans une partie de leur cours, et diffèrent dans toutes les autres parties.