La solution générale que donne cette équation (E) est totalement indépendante de la nature de la fonction parce que cette fonction ne représente ici qu’une multitude infinie de constantes arbitraires, qui répondent à autant de valeurs de comprises entre et
Si l’on supposait la chaleur primitive contenue dans une seule partie de la sphère solide, par exemple, depuis jusqu’à et que les températures initiales des couches supérieures fussent nulles, il suffirait de prendre l’intégrale
entre les limites et
En général, la solution exprimée par l’équation (E) convient à tous les cas, et la forme du développement ne varie point selon la nature de la fonction.
Supposons maintenant qu’ayant écrit au lieu de on ait déterminé par l’intégration les coëfficiens et que l’on ait formé l’équation
Il est certain qu’en donnant à une valeur quelconque comprise entre et le second membre de cette équation équivaut à c’est une conséquence nécessaire de notre calcul. Mais il ne s’ensuit nullement qu’en donnant à une valeur non comprise entre et la même égalité aura lieu. On voit très-distinctement le contraire dans les exemples que nous avons cités, et si l’on excepte les cas par-