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CHAPITRE IX.

425.

Si l’on omettait dans le second membre de l’équation $(e)$ un ou plusieurs des termes qui répondent à une ou plusieurs racines $\mu _{i}$ de l’équation $(f),$ l’équation $(\varepsilon )$ ne serait pas vraie en général. Pour s’en convaincre, supposons qu’un terme contenant $\mu _{j}$ et $a_{j}$ ne soit point écrit dans le second membre de l’équation $(e),$ on pourrait multiplier respectivement les $n$ équations par les facteurs

$dx\,\sin .(\mu _{j}\,dx),\;dx\,\sin .(\mu _{j}\,2\,dx),\;dx\,\sin .(\mu _{j}\,3\,dx)\dots dx\,\sin .(\mu _{n}\,3\,dx)\,;$

et en les ajoutant, la somme de tous les termes des seconds membres serait nulle, en sorte qu’il ne resterait aucun des coëfficients inconnus. Le résultat, formé de la somme des premiers membres, c’est-à-dire la somme des valeurs $f_{1}\;f_{2}\;f_{3}\dots \,f_{n},$ multipliées respectivement par les facteurs

$dx\,\sin .(\mu _{j}\,dx)\;,dx\,\sin .(\mu _{j}\,2\,dx),dx\,\sin .(\mu _{j}\,3\,dx)\dots \;dx\,\sin .(\mu _{j}\,n\,dx)$

se réduirait à zéro. Il faudrait par conséquent que cette relation existât entre les quantités données $f_{1}\;f_{2}\;f_{3}\dots \,f_{n}\,;$ et on ne pourrait point les considérer comme entièrement arbitraires, ce qui est contre l’hypothèse. Si ces quantités $f_{1}\;f_{2}\;f_{3}\;f_{n}\dots$ ont des valeurs quelconques, la relation dont il s’agit ne subsiste point, et l’on ne pourrait pas satisfaire aux conditions proposées, en omettant un ou plusieurs termes, tels que $a_{j}\,\sin .(\mu _{j}x)$ dans l’équation $(e).$ Donc la fonction $fx$ demeurant indéterminée, c’est-à-dire, représentant le système d’un nombre infini de constantes arbitraires qui