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THÉORIE DE LA CHALEUR.

cients sont celles qui doivent avoir lieu pour que les $n$ équations subsistent à la fois, c’est-à-dire, pour que l’équation $(\varepsilon )$ subsiste lorsqu’on donne à $x$ une de ces $n$ valeurs comprises entre 0 et $\mathrm {X} \,;$ et comme le nombre $n$ est infini, il s’ensuit que le premier membre $fx$ coïncide nécessairement avec le second, lorsque la valeur $x,$ substituée dans l’un et l’autre, est comprise entre 0 et $\mathrm {X} .$

La démonstration précédente ne s’applique pas seulement aux développemens dont la forme est

$a_{1}\,\sin .(\mu _{1}\,x)+a_{2}\,\sin .(\mu _{2}\,x)+a_{3}\,\sin .(\mu _{3}\,x)\dots +a_{i}\,\sin .(\mu _{i}\,x),$

elle convient à toutes les fonctions $\varphi (\mu _{i}x)$ que l’on pourrait substituer à $\sin .(\mu _{i}x)$ en conservant la condition principale, savoir, que l’intégrale $\textstyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\,\varphi (\mu _{i}x)\,\varphi (\mu _{j}x),$ ait une valeur nulle lorsque $i$ et $j$ sont des nombres différents.

Si l’on propose de développer $fx$ sous cette forme :

$fx=a+{\begin{array}{ll}a_{1}\cos .x\\b_{1}\,\sin .x\\\end{array}}+{\begin{array}{ll}a_{2}\cos .2x\\b_{2}\,\sin .2x\\\end{array}}+\cdots {\begin{array}{ll}a_{i}\cos .x\\b_{i}\,\sin .x\\\end{array}}+\mathrm {etc.}$

Les racines $\mu _{1},$ $\mu _{2},$ $\mu _{3}\dots$ $\mu _{i}\dots$ etc., seront des nombres entiers, et la condition

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }dx\,\cos .\left(2\pi i{\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)\,\sin .\left(2\pi j{\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)=0$

ayant toujours lieu lorsque les indices $i$ et $j$ sont des nombres différents, on obtient, en déterminant les coëfficients $a_{i},$ $b_{i},$ l’équation générale $(\Pi ),$ page 258, qui ne diffère pas de l’équation (A), page 555.