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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Il faut donc multiplier le second membre de cette équation par $d\alpha \,fa,$ supposer le nombre $j$ infini, et intégrer depuis $\alpha =-\pi$ jusqu’à $\alpha =+\pi .$ La ligne courbe, dont l’abscisse est $\alpha$ et l’ordonnée $\cos .jr$ étant conjuguée avec la ligne dont l’abscisse est $\alpha$ et l’ordonnée $f\alpha ,$ c’est-à-dire les ordonnées correspondantes étant multipliées l’une par l’autre, il est manifeste que l’aire de la courbe produite, prise entre des limites quelconques, devient nulle lorsque le nombre $j$ croît sans limite. Ainsi le premier terme $\cos .jr$ donne un résultat nul.

Il en serait de même du terme $\sin .jr,$ s’il n’était pas multiplié par le facteur ${\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}}\,;$ mais en comparant les trois courbes qui ont pour abscisse commune $\alpha ,$ et pour ordonnées $\sin .r,$ ${\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}},$ $f\alpha ,$ on reconnaît évidemment que l’intégrale $\int d\alpha .f\alpha .\sin .(jr){\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}}$ n’a de valeurs subsistantes que pour de certains intervalles infiniment petits ; savoir, lorsque l’ordonnée ${\frac {\sin .r}{\mathrm {sin.vers.} \,r}}\,;$ devient infinie. Cela aura lieu si $r$ ou $\alpha -x$ est nulle ; et dans cet intervalle où $\alpha$ diffère infiniment peu de $x,$ la valeur de $f\alpha$ se confond avec $fx.$ Donc l’intégrale devient

$2\,fx.\int \limits _{0}^{\infty }dr.\sin .(jr)\cdot {\frac {r}{{\frac {1}{2}}r^{2}}}\quad \mathrm {ou} \quad 4fx\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {dr}{r}}\sin .(jr),$

qui est égale à $2\pi .fx$ (art. 415 et 356). On en conclut l’équation précédente (A).

Lorsque la variable $x$ est précisément égale à $-\pi$ on