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CHAPITRE IX.

mune, et qui répondent à toutes les valeurs de $x$ comprises entre 0 et une grandeur quelconque $\mathrm {X} .$

La valeur de cette fonction est représentée par l’équation suivante :

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\cdot \sum \int \limits _{a}^{b}d\alpha \,f\alpha .\cos .\left({\frac {i.2\pi }{\mathrm {X} }}\,{\overline {x-\alpha }}\right).\quad ({\boldsymbol {\mathrm {A} }})$

L’intégrale, par rapport à $\alpha ,$ doit être prise entre les limites $\alpha =a$ et $\alpha =b\,;$ chacune de ces limites $a$ et $b$ est une quantité quelconque comprise entre 0 et $\mathrm {X} .$ Le signe $\textstyle \sum$ affecte le nombre entier $i,$ et indique que l’on doit donner à $i$ toutes ses valeurs négatives ou positives, savoir :

$\dots -5,\,-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,+1,\,+2,\,+3,\,+4,\,+5,\dots$

et prendre la somme des termes placés sous ce signe $\textstyle \sum .$ Le second membre devient, par ces intégrations, une fonction de la seule variable $x$ et des constantes $a$ et $b.$ La proposition générale consiste en ce que 1^o la valeur du second membre, que l’on trouverait en y mettant au lieu de $x$ une quantité comprise entre $a$ et $b,$ est égale à celle que l’on obtiendrait en mettant cette même quantité au lieu de $x$ dans la fonction $fx\,;$ 2^o toute autre valeur de $x$ comprise entre 0 et $\mathrm {X} ,$ mais non comprise entre $a$ et $b,$ étant substituée dans le second membre, donne un résultat nul.

Il n’y a ainsi aucune fonction $fx,$ ou partie de fonction, que l’on ne puisse exprimer en une suite trigonométrique.

La valeur du second membre est périodique, et l’intervalle de la période est $\mathrm {X} ,$ c’est-à-dire que cette valeur du second membre ne change point lorsqu’on écrit $x+\mathrm {X}$ au lieu de $x.$ Toutes ses valeurs successives se renouvellent à chaque intervalle $\mathrm {X} .$