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CHAPITRE IX.

Supposons maintenant que la fonction $fx$ coïncide avec une certaine expression analytique, telle que $\sin .x,$ $e^{-x^{2}},$ ou $\varphi x$ lorsqu’on donne à $x$ une valeur comprise entre deux limites $a$ et $b,$ et que toutes les valeurs de $fx$ soient nulles lorsque $x$ n’est pas comprise entre $a$ et $b\,;$ les limites de l’intégration par rapport à $\alpha ,$ dans l’équation précédente (B) seront donc $\alpha =a,$ $\alpha =b\,:$ car le résultat serait le même que pour les limites $\alpha =-{\tfrac {1}{0}},$ $\alpha ={\tfrac {1}{0}},$ toutes les valeurs de $\alpha$ étant nulles par hypothèse, lorsque $\alpha$ n’est point comprise entre $a$ et $b.$ On aura donc l’équation :

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{a}^{b}d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dp\,\cos .(px-p\alpha ).\quad ({\boldsymbol {\mathrm {B} '}})$

Le second membre de cette équation (B’) est une fonction de la variable $x\,:$ car les deux intégrations font disparaître les variables $\alpha$ et $p,$ et il ne reste que $x$ et les constantes $a$ et $b.$ Or cette fonction équivalente au second membre est telle, qu’en y substituant pour $x$ une valeur quelconque comprise entre $a$ at $b,$ on trouve le même résultat qu’en substituant cette valeur de $x$ dans $\varphi x,$ et l’on trouve un résultat nul, si, dans le second membre, on met au lieu de $x$ une valeur quelconque non comprise entre $a$ et $b.$ Si donc, en conservant toutes les autres quantités qui forment le second membre, on remplaçait les limites $a$ et $b$ par des limites plus voisines, $a'$ et $b',$ dont chacune est comprise entre $a$ et $b,$ on changerait la fonction de $x$ qui équivaut au second membre, et l’effet du changement serait tel que ce second membre deviendrait nul toutes les fois que l’on donnerait à $x$ une valeur non comprise entre $a'$ et $b'\,;$ et, si la valeur