Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/575

543

CHAPITRE IX.

somme de tous les autres termes par $\nu ,$ on a évidemment

$\nu =\int \limits _{0}^{x}dx\int \limits _{0}^{x}dx\,\mu .$

il reste donc à trouver la valeur de $\mu .$ Or la fonction $ft$ peut être ainsi exprimée, au moyen de l’équation générale (B),

$ft={\frac {1}{2\pi }}\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,\cos .(pt-p\alpha ).\quad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

Il est facile d’en déduire les valeurs des fonctions

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}ft,\quad {\frac {d^{4}}{dt^{4}}}ft,\quad {\frac {d^{6}}{dt^{6}}}ft,\quad \mathrm {etc.}$

Il est évident que la différentiation se réduit à écrire dans le second membre de l’équation (B), sous le signe $\textstyle \int dp,$ les facteurs respectifs $-p^{2},$ $+p^{4},$ $-p^{6},$ $+p^{8},$ etc.

On aura donc, en écrivant une seule fois le facteur commun $\cos .(pt-p\alpha ),$

${\begin{aligned}\mu ={\frac {1}{2\pi }}&\int d\alpha \,f\alpha \int dp\,\cos .(pt-p\alpha )\\&\left(1-{\frac {p^{2}x^{4}}{2.3.4}}+{\frac {p^{4}x^{8}}{2.3.4.5.6.7.8}}-{\frac {p^{6}x^{12}}{2.3.\dots \dots .12}}+\mathrm {etc.} \right).\\\end{aligned}}$

Ainsi la question consiste à trouver la somme de la série qui entre dans le second membre, ce qui ne présente aucune difficulté. En effet, soit $y$ la valeur de cette série, on en conclut

${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=-p^{2}+{\frac {p^{4}x^{4}}{2.3.4}}-{\frac {p^{6}x^{8}}{2.3.4\dots 8}}+\mathrm {etc.} ,\quad \mathrm {ou} \;\;{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=-p^{2}y.$

Intégrant cette équation linéaire, et déterminant les constantes arbitraires, en sorte que, $x$ étant nulle, $y$ soit 1,