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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Si l’on suppose $t=0,$ il est nécessaire que $v$ devienne $\varphi (x,y).$ On aura donc

$\varphi (x,y)=\int d\alpha \int d\beta \,\mathrm {F} (\alpha ,\beta )\int dp\,\cos .(px-p\alpha )\int dq\,\cos .(qy-q\beta ).$

Ainsi la question est réduite à déterminer $\mathrm {F} (\alpha ,\beta ),$ en sorte que le résultat des intégrations indiquées soit $\varphi (x,y).$ Or, en comparant la dernière équation à l’équation (BB), on trouve

$\varphi (x,y)=\left({\frac {2}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dq\,\cos .(qy-q\beta ).$

Donc l’intégrale sera ainsi exprimée :

$v=\left({\frac {2}{2\pi }}\right)^{2}\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\alpha \!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!d\beta \,\varphi (\alpha ,\beta )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dp\,\cos .(px-p\alpha )\!\!\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\!dq\,\cos .(qy-q\beta )\,\cos .t{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\cdot$

On obtient ainsi une première partie $u$ de l’intégrale ; et, désignant par $\mathrm {W}$ la seconde partie, qui doit contenir l’autre fonction arbitraire $\psi (x,y),$ on aura

$v=u+\mathrm {W} ,$

et l’on prendra pour $\mathrm {W}$ l’intégrale $\int u\,dt,$ en changeant seulement $\varphi$ en $\psi .$ En effet, $u$ devient égale à $\varphi (x,y),$ lorsqu’on fait $t=0\,;$ et en même temps $\mathrm {W}$ devient nulle, puisque l’intégration, par rapport à $t,$ change le cosinus en sinus.

De plus, si l’on prend la valeur de ${\frac {dv}{dt}},$ et que l’on fasse $t=0,$ la première partie, qui contient alors un sinus, devient nulle, et la seconde partie devient égale à $\psi (x,y).$ Ainsi l’équation $v=u+\mathrm {W}$ est l’intégrale complète de la proposée.

On formerait de la même manière l’intégrale de l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\cdot$