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CHAPITRE IX.

l’expression

${\frac {d\mathrm {W} }{dt}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\psi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ),$

on voit qu’en y faisant $t=0$ elle devient égale à $\psi x.$ Il n’en est pas de même de l’expression ${\frac {du}{dt}}\,;$ elle devient nulle lorsque $t=0,$ et $u$ devient égal à $\varphi x$ lorsque $t=0.$

Il suit de là que l’intégrale de l’équation $(d)$ est

${\begin{aligned}&v={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,\cos .q^{2}t\,\cos .(qx-q\alpha )+\mathrm {W} =u+\mathrm {W} \\\mathrm {et} \;\;&\mathrm {W} ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\psi \alpha \int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\cdot {\frac {1}{q^{2}}}\sin .(q^{2}t)\,\cos .(qx-q\alpha ).\\\end{aligned}}$

En effet, 1^o cette valeur de $v$ satisfait à l’équation différentielle $(d).$

2^o Lorsqu’on fait $t=0,$ elle devient égale à la fonction entièrement arbitraire $\varphi x.$

3^o Lorsqu’on fait $t=0$ dans l’expression ${\frac {dv}{dt}},$ elle se réduit à une seconde fonction arbitraire $\psi x.$ Donc la valeur de $v$ est l’intégrale complète de la proposée, et il ne peut y avoir une intégrale plus générale.

406.

On peut réduire la valeur de $u$ à une forme plus simple en achevant l’intégration par rapport à $q.$ Cette réduction et celle d’autres expressions du même genre dépendent des deux résultats exprimés par les équations (1) et (2), qui seront démontrées dans l’article suivant.

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,\cos .(q^{2}t).\cos .(qz)={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\sin .\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {z^{2}}{4t}}\right),\quad ({\boldsymbol {1}})$