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CHAPITRE IX.

fonction quelconque $\varphi x.$ Or, l’équation $(d)$ déduite des principes fondamentaux de la dynamique fait connaître que la seconde fluxion de $v,$ prise pour $t,$ ou ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}},$ et la fluxion du quatrième ordre, prise pour $x,$ ou ${\frac {d^{4}v}{dx^{4}}},$ sont deux fonctions de $x$ et $t$ qui ne différent que par le signe. Nous n’entrons point ici dans la question spéciale relative à la discontinuité des fonctions ; nous n’avons en vue que l’expression analytique de l’intégrale. On peut supposer aussi, qu’après avoir déplacé arbitrairement les divers points de la lame, on leur imprime des vitesses initiales très-petites, et dans le plan vertical où les vibrations doivent s’accomplir. La vitesse initiale donnée à un point quelconque m placé à la distance $x,$ a une valeur arbitraire. Elle est exprimée par une fonction quelconque $\psi x$ de la distance $x.$

Il est manifeste que si l’on donne, 1^o la figure initiale du système ou $\varphi x,$ 2^o les impulsions initiales ou la fonction $\psi x,$ tous les états subséquents du système sont déterminés. Ainsi la fonction $v$ ou $f(x,t),$ qui représente, après un temps quelconque $t,$ la forme correspondante de la lame, contient deux fonctions arbitraires $\varphi x$ et $\psi x.$

Pour déterminer la fonction cherchée $f(x,t),$ nous considérons que, dans l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}=0,\qquad ({\boldsymbol {d}})$

on peut donner à $v$ la valeur très-simple $u=\cos .(q^{2}t)\,\cos .(qx),$ ou celle-ci :

$u=\cos .(q^{2}t).\cos .(qx-q\alpha ),$

en désignant par $q$ et $\alpha$ des quantités quelconques qui ne