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CHAPITRE IX.

403.

Si l’équation différentielle proposée est

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}v}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dy^{4}}}=0,\qquad ({\boldsymbol {e}})$

on désignera par $\mathrm {D} \varphi$ la fonction ${\frac {d^{2}.\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}.\varphi }{dy^{2}}},$ en sorte que $\mathrm {DD} \varphi$ ou $\mathrm {D} ^{2}\varphi$ se formera en élevant le binôme ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}$ au quarré, et regardant les exposants comme indices de différentiation. L’équation $(e)$ deviendra donc ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+\mathrm {D} ^{2}v=0\,;$ et la valeur de $v,$ ordonnée selon les puissances de $t,$ sera $\cos .(t\mathrm {D} )\varphi (x,y)\,:$ car on en tire

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\mathrm {D} ^{2}v,\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}v}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}v}{dy^{4}}}=0.$

La valeur la plus générale de $v$ ne pouvant contenir que deux fonctions arbitraires en $x$ et $y,$ ce qui est une conséquence évidente de la forme de l’équation, cette valeur $v$ sera ainsi exprimée :

$v=\cos .(t\mathrm {D} )\,\varphi (x,y)+\int dt\,\cos .(t\mathrm {D} )\,\psi (x,y).$

Les fonctions $\varphi$ et $\psi$ sont déterminées comme il suit, en désignant la fonction $v$ par $f(x,y,t),$ et ${\frac {d}{dt}}f(x,y,t)$ par $f_{'}(x,y,t),$

$\varphi (x,y)=f(x,y,0),\quad \psi (x,y)=f_{'}(x,y,0).$

Enfin, soit l’équation différentielle proposée,

${\frac {dv}{dt}}=a{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+b{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+c{\frac {d^{6}v}{dx^{6}}}+d{\frac {d^{8}v}{dx^{8}}}+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {f}})$

les coëfficients $a,\,b,\,c,\,d$ sont des nombres connus, et l’ordre de l’équation est indéfini.