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CHAPITRE IX.

On trouvera, de la même manière, que l’équation différentielle

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0\qquad \qquad ({\boldsymbol {b}})$

donne pour l’expression de $v,$ en série développée selon les puissances croissantes de $y,$

$v=\cos .(y\mathrm {D} )\,\varphi x.$

Il faut développer par rapport à $y,$ et écrire ${\frac {d}{dx}},$ au lieu de $\mathrm {D} .$ En effet, on déduit de cette valeur de $v,$

${\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=-\mathrm {D} ^{2}\cos .(y\mathrm {D} )\varphi x=-\mathrm {D} ^{2}v=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}v\cdot$

La valeur $\sin .(y\mathrm {D} )\psi x$ satisfait aussi à l’équation différentielle : donc la valeur générale de $v$ est

$v=\cos .(y\mathrm {D} )\varphi x+\mathrm {W} \qquad \mathrm {et} \qquad \mathrm {W} =\sin .(y\mathrm {D} )\psi x.$

402.

Si l’équation différentielle proposée est

${\frac {d^{1}v}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}},\qquad \qquad ({\boldsymbol {c}})$

et que l’on veuille exprimer $v$ en série ordonnée selon les puissances de $t,$ on désignera par $\mathrm {D} \varphi$ la fonction

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\varphi +{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\varphi \,;$

et l’équation étant ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=\mathrm {D} v,$ on aura

$v=\cos .\left(t{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)\varphi (x,y).$

En effet, on en conclut

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=\mathrm {D} v={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}\cdot$