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THÉORIE DE LA CHALEUR.

loppera selon les puissances de $x,$ et l’on écrira ${\frac {d^{i}}{dt^{i}}}$ au lieu de $\mathrm {D} ^{i}$ en considérant $i$ comme indice de différentiation. La seconde partie de la série (X) se déduit de la première, en intégrant par rapport à $x,$ et changeant la fonction $\varphi t$ en une autre fonction arbitraire $\psi t.$ Ou a donc

${\begin{aligned}v&=\cos .\left(x{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)+\mathrm {W} ,\\\mathrm {et} \qquad \qquad \qquad \mathrm {W} &=\psi t.\int \limits _{0}^{x}dx\,\cos .\left(x{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right).\\\end{aligned}}$

Ces notations abrégées et connues dérivent des analogies qui subsistent entre les intégrales et les puissances. Quant à l’usage que nous en faisons ici, il a pour objet d’exprimer les séries, et de les vérifier sans aucun développement. Il suffit de différentier sous les signes que cette notation emploie. Par exemple, de l’équation $v=e^{r\mathrm {D} ^{2}}\varphi x,$ on déduit, en différentiant par rapport à $t$ seulement,

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {D} ^{2}.e^{t\mathrm {D} ^{2}}\varphi x=\mathrm {D} ^{2}v={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}v\,;$

ce qui montre immédiatement que la série satisfait à l’équation différentielle $(a).$ Pareillement, si l’on considère la première partie de la série (X), en écrivant

$v=\cos .\left(x{\sqrt {-\mathrm {D} }}\right)\,\varphi t,$

on aura, en différentiant deux fois par rapport à $x$ seulement,

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=\mathrm {D} .\cos .(x{\sqrt {-\mathrm {D} )}}\,\varphi t=\mathrm {D} v={\frac {dv}{dt}}\cdot$

Donc cette valeur de $v$ satisfait à l’équation différentielle $(a).$