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CHAPITRE IX.

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }dq\,e^{\displaystyle -q^{2}t}\,\cos .(qx-q\alpha )={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}e^{\displaystyle -\left({\frac {\alpha -x}{2{\sqrt {t}}}}\right)^{2}}\,;$

donc l’intégrale $(\beta )$ de l’article précédent devient

$v=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\alpha .\mathrm {F} \alpha }{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\cdot e^{\displaystyle -\left({\frac {\alpha -x}{2{\sqrt {t}}}}\right)^{2}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {\gamma }})$

Si l’on emploie au lieu de $\alpha$ une autre indéterminée $\beta ,$ en faisant ${\frac {x-\alpha }{2{\sqrt {t}}}}=\beta ,$ on trouve

$v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int d\beta \,e^{\displaystyle -\beta ^{2}}.\mathrm {F} (\alpha +2\beta {\sqrt {t}}).\qquad ({\boldsymbol {\delta }})$

Cette forme $(\delta )$ de l’intégrale de l’équation $(a)$ a été donnée par M. Laplace, dans le tome VIII des Mémoires de l’École polytechnique. Ce grand géomètre est parvenu à ce résultat en considérant la série infinie qui représente l’intégrale.

Chacune des équations $(\beta ),\,(\gamma ),\,(\delta ),$ exprime la diffusion linéaire de la chaleur dans un prisme d’une longueur infinie. Il est évident que ce sont trois formes d’une même intégrale, et qu’aucune ne peut être considérée comme plus générale que les autres. Chacune d’elles est contenue dans l’intégrale $(\alpha )$ dont elle dérive en donnant à $\mathrm {R}$ une valeur infinie.

399.

Il est facile de développer la valeur de $v$ déduite de l’équa-