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CHAPITRE IX.

leur initiale est contenue dans un seul élément de la barre prismatique infinie.

388.

Dans la question précédente on a déterminé l’état variable d’un prisme infini dont une portion déterminée était affectée dans tous les points d’une température initiale $f.$ On supposait que la chaleur initiale était distribuée dans une étendue finie depuis $x=0$ jusqu’à $x=b.$ On suppose maintenant que la même quantité de chaleur $bf$ est contenue dans un élément infiniment petit, depuis $x=0$ jusqu’à $x=\omega .$ La température de la tranche échauffée sera donc ${\frac {f\,b}{\omega }},$ et il résulte de ce qui a été dit précédemment, que l’état variable du solide sera exprimé par l’équation

$v={\frac {f.b}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {e^{\frac {-x^{2}}{4\,k\,t}}}{2{\sqrt {kt}}}}\cdot e^{-ht}\,;\qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})$

ce résultat a lieu lorsque le coëfficient ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ qui entre dans l’équation différentielle ${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv,$ est désigné par $k.$ Quant au coëfficient $h,$ il équivaut à ${\frac {\mathrm {H} \,l}{\mathrm {C.D.S} }}\,;$ on désigne par $\mathrm {S}$ l’aire de la section du prisme, par $l$ le contour de cette section, et par $\mathrm {H}$ la conducibilité de la surface extérieure. En substituant ces valeurs dans l’équation $(a)$ on a

$v={\frac {b\,f}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{-x^{2}\cdot {\frac {\mathrm {C.D} }{4\,k\,t}}}}{2{\sqrt {t}}.{\sqrt {\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}}}}\,e^{-{\frac {\mathrm {H} \,l}{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t}\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {A} }})$

$f$ représente la température moyenne initiale, c’est-à-dire