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CHAPITRE IX.

$k=1$ pour simplifier le calcul, et dans le résultat on écrira $k\,t$ ou ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}$ au lieu de $t.$ L’expression de $v$ est donc

$v={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {f}{\sqrt {t}}}\int \limits _{-g}^{+g}d\alpha \,e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}.$

Elle est l’intégrale de l’équation ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}.$ La fonction ${\frac {dv}{dx}}$ mesure la vitesse avec laquelle la chaleur s’écoule suivant l’axe du prisme. Or cette valeur de ${\frac {dv}{dx}}$ est donnée dans la question actuelle sans aucun signe d’intégrale. On a en effet

${\frac {dv}{dx}}={\frac {f}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\int \limits _{-g}^{+g}2\,d\alpha \,{\frac {(\alpha -x)}{4\,t}}e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}.$

ou en achevant l’intégration

${\frac {dv}{dx}}={\frac {f}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\left\{e^{\frac {-(x+g)^{2}}{4\,t}}-e^{\frac {-(x-g)^{2}}{4\,t}}\right\}$

387.

La fonction ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}$ peut donc aussi être exprimée sans signe d’intégrale ; or elle équivaut à la fluxion du premier ordre ${\frac {dv}{dt}}\,;$ donc en égalant à zéro cette valeur de ${\frac {dv}{dt}}$ qui mesure l’accroissement instantané de la température d’un point quelconque, on aura la relation cherchée entre $x$ et $t.$ On trouve ainsi