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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$f(x,y,z)$ jouira d’une semblable propriété, si l’on substitue au lieu de $x,\,y,\,z,$ les quantités

$x+2n{\sqrt {t}},\quad y+2p{\sqrt {t}},\quad z+2q{\sqrt {t}},$

et si l’on intègre après avoir multiplié par

${\frac {dn}{\sqrt {\pi }}}e^{-n^{2}t},\quad {\frac {dp}{\sqrt {\pi }}}e^{-p^{2}t},\quad {\frac {dq}{\sqrt {\pi }}}e^{-q^{2}t},$

En effet, la fonction que l’on forme ainsi,

${\frac {1}{\pi ^{\frac {3}{2}}}}\int dn\int dp\int dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})}f\left(x+2n{\sqrt {t}},y+2p{\sqrt {t}},z+2q{\sqrt {t}}\right),$

donnera trois termes pour la fluxion par rapport à $t,$ et ces trois termes sont ceux que l’on trouverait en prenant la fluxion seconde pour chacune des trois variables $x,\,y,\,z.$ Donc l’équation

$v=\pi ^{-{\frac {3}{2}}}\!\int \!dn\int \!dp\int \!dq\,e^{-(n^{2}+p^{2}+q^{2})}f\!\left(x\!+\!2n{\sqrt {t}},y\!+\!2p{\sqrt {t}},z\!+\!2q{\sqrt {t}}\!\right)\;({\boldsymbol {\mathrm {I} }}),$

donne une valeur de $v$ qui satisfait à l’équation aux différences partielles

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }}).$

373.

Supposons maintenant qu’une masse solide sans figure, (c’est-à-dire qui remplit l’espace infini) contienne une quantité de chaleur dont la distribution actuelle est connue. Soit $v=\mathrm {F} (x,y,z)$ l’équation qui exprime cet état initial et arbitraire, en sorte que la molécule dont les coordonnées sont