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CHAPITRE IX.

La température variable $v$ d’un point d’une ligne infinie est exprimée par l’équation

$v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dq\,e^{-q^{3}}f(x+2q{\sqrt {t}})\qquad \qquad ({\boldsymbol {i}}),$

$x$ désigne la distance entre un point fixe O, et le point m, dont la température équivaut à $v$ après le temps écoulé $t.$ On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre infinie, et l’état initial de cette barre est exprimé par l’équation $v=fx.$ L’équation différentielle à laquelle la valeur de v doit satisfaire est celle-ci :

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {a}})\,;$

Mais pour simplifier le calcul, on écrit ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\qquad \qquad ({\boldsymbol {b}})\,;$

Ce qui suppose que l’on emploie au lieu de $t$ une autre indéterminée $t$ égal à ${\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}.$

Si dans une fonction de $x$ et de constantes $fx$ on substitue $x+2n{\sqrt {t}}$ à $x,$ et si, après avoir multiplié par ${\frac {dn}{\sqrt {\pi }}}e^{-n^{2}},$ on intègre par rapport à $n$ entre des limites infinies, l’expression ${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dn\,e^{-n^{2}}\,f(x+2n{\sqrt {t}})$) satisfera, comme on l’a démontré plus haut, à l’équation différentielle $(b)$ ; c’est-à-dire que cette expression a la propriété de donner une même valeur pour la fluxion seconde par rapport à x, et pour la fluxion première par rapport à $t.$ D’après cela il est évident qu’une fonction de trois variables