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THÉORIE DE LA CHALEUR.

équivaut à l’intégrale $\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .n\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)$ ou

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .n\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right).$

En effet, pour déterminer la valeur de l’intégrale

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .\left(x+2q{\sqrt {kt}}\right)\,;$

on lui donnera la forme suivante :

$\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .x\,\cos .2q{\sqrt {kt}}+\int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .x\,\sin .2q{\sqrt {kt}}\,;$

ou celle-ci,

${\begin{aligned}&\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .x\left({\frac {e^{2q{\sqrt {-kt}}}}{2}}+{\frac {e^{-2q{\sqrt {-kt}}}}{2}}\right)\\&\quad +\int dq\,e^{-q^{2}}\,\cos .x\left({\frac {e^{2q{\sqrt {-kt}}}}{2{\sqrt {-1}}}}-{\frac {e^{-2q{\sqrt {-kt}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\right),\\\end{aligned}}$

qui équivaut à

${\begin{aligned}&e^{-kt}\sin .x\left({\frac {1}{2}}\int dq\,e^{-\left(q-{\sqrt {-kt}}\right)^{2}}+{\frac {1}{2}}\int dq\,e^{-\left(q+{\sqrt {-kt}}\right)^{2}}\right)\\+&e^{-kt}\cos .x\left({\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int dq\,e^{-\left(q-{\sqrt {-kt}}\right)^{2}}-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int dq\,e^{-\left(q+{\sqrt {-kt}}\right)^{2}}\right)\\\end{aligned}}$

l’intégrale $\int dq\,e^{-\left(q\pm {\sqrt {-kt}}\right)^{2}}$ prise depuis $q=-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $q={\tfrac {1}{0}}$ est ${\sqrt {\pi }},$ on a donc pour la valeur de l’intégrale $\int dq\,e^{-q^{2}}\,\sin .(x+2q{\sqrt {kt}})$ la quantité $e^{-kt}\sin .x.{\sqrt {\pi }},$ et en général