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CHAPITRE IX.

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\,\cos .qx\,\sin .q.e^{-q^{2}kt}\qquad \mathrm {art.} \;(348).$

Pour comparer ces deux résultats, on supposera dans l’un et l’autre $x=0\,;$ désignant encore par $\psi (\mathrm {R} )$ l’intégrale

$\int dr\,e^{-r^{2}}$

prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R}$, on a

$v=e^{-ht}\left\{\psi \left({\frac {-\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)-\psi \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)\right\},$

${\begin{aligned}\mathrm {ou} \qquad v={\frac {2e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}&\cdot \left\{{\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}-{\frac {1}{1}}{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{3}\right.\\&\left.+{\frac {1}{1.2}}\cdot {\frac {1}{5}}\,\left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{5}-{\frac {1}{1.2.3}}\,{\frac {1}{7}}\,\left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {kt}}}}\right)^{7}+\mathrm {etc.} \right\}\\\end{aligned}}$

d’un autre côté on doit avoir

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\,\sin .q\,e^{-q^{2}kt},\qquad \mathrm {ou}$

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int dqe^{-q^{2}kt}\left(1-{\frac {q^{2}}{2.3}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {q^{6}}{2.3.4.5.6.7}}+\mathrm {etc.} \right)$

Or l’intégrale $\int du\,e^{-u^{2}}.u^{2m}$ prise depuis $u=0$ jusqu’à $u={\tfrac {1}{0}}$ a une valeur connue, $m$ étant un nombre entier positif. On a en général

$\int du\,e^{-u^{3}}.u^{2m}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}\cdots \cdot {\frac {2m-1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\,;$

l’équation précédente donne donc, en faisant $q^{2}kt=u^{2},$