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CHAPITRE IX.

La fonction désignée par $\psi \mathrm {R}$ est connue depuis long-temps et l’on peut calculer facilement, soit au moyen des séries convergentes, soit par les fractions continues, les différentes valeurs que reçoit cette fonction, lorsqu’on met au milieu de $\mathrm {R}$ des quantités données ; ainsi l’application numérique de la solution n’est sujette à aucune difficulté.

366.

Si l’on fait $\mathrm {H}$ nulle, on a

$v=1-\left\{\psi \left(-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)-\psi \left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}\right)\right\}.$

Cette équation représente la propagation de la chaleur dans une barre infinie, dont tous les points étaient d’abord à la température 0, et dont l’extrémité est élevée et entretenue à la température constante 1. On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre ; ou, ce qui est la même chose, que cette barre a une épaisseur infiniment grande. Cette dernière valeur de $v$ fait donc connaître la loi suivant laquelle la chaleur se propage dans un solide terminé par un plan infini, en supposant que ce mur infiniment épais, a d’abord dans toutes ses parties une température constante initiale 0, et que l’on assujettit la surface à une température constante 1. Il ne sera point inutile de faire observer quelques résultats de cette solution.

En désignant par $\varphi (\mathrm {R} )$ l’intégrale ${\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dr\,e^{-r^{2}}$ prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R}$ ; on a lorsque $\mathrm {R}$ est une quantité positive,

$\psi (\mathrm {R} )={\frac {1}{2}}-\varphi (\mathrm {R} )\quad \mathrm {et} \quad \psi (-\mathrm {R} )={\frac {1}{2}}+\varphi (\mathrm {R} ),$

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