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CHAPITRE IX.

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{\left(x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}\right){\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}},\\\mathrm {ou} \quad &{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K\,S} }}}}\int dq\,e^{-q^{2}}.e^{2q{\sqrt {{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}},\\\mathrm {ou} \quad &{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {K\,S} }}}}.e^{{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}\int dr\,e^{-r^{2}},\\\end{aligned}}$

en désignant par $r$ la quantité $q-{\sqrt {{\frac {\mathrm {H.L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}.$ L’intégrale $\int dre^{-r^{2}}$ doit être prise d’après l’hypothèse depuis

$x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}=-{\tfrac {1}{0}}\quad \mathrm {jusqu'{\grave {a}}} \quad x+2q{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}=0$

ou de $\quad q=-{\tfrac {1}{0}}\quad$ à $\quad q=-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}},\quad$ c’est-à-dire, depuis

$r=-{\tfrac {1}{0}}\quad$ jusqu’à $\quad r=-{\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\cdot t\,}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}}$

Ces deux premières limites peuvent, d’après la nature de la fonction $e^{-r^{2}}$, être remplacées par celles-ci :

$r={\sqrt {{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}\,t\,}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} \,t}{\mathrm {C.D} }}}}},\quad$ et $\quad r={\tfrac {1}{0}}$

Il suit de là que la valeur de $u$ est exprimée ainsi :

$u=e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}.e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}\int dr\,e^{-r^{2}}-e^{x{\sqrt {\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {K\,S} }}}}.e^{{\frac {\mathrm {H\,L} }{\mathrm {C.D.S} }}t}\int dr\,e^{-r}$