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CHAPITRE IX.

on employera l’intégrale sous une forme différente de celle que nous avons considérée jusqu’ici.

364.

On satisfait à l’équation ${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ en supposant $u$ égale à $e^{-x}e^{kt}.$ Or cette dernière fonction de $x$ et $t$ peut être mise sous la forme d’intégrale définie, ce qui se déduit très-facilement de la valeur connue de $\int dq\,e^{-q^{2}}.$ On a en effet ${\sqrt {\pi }}=\int dq\,e^{-q^{2}},$ lorsque l’intégrale est prise de $q=-{\tfrac {1}{0}}$ à $q=+{\tfrac {1}{0}}.$ On aura donc aussi ${\sqrt {\pi }}=\int dq\,e^{-(q+b)^{2}},$ $b$ étant une constante quelconque et les limites de l’intégrale étant les mêmes qu’auparavant. De l’équation

${\sqrt {\pi }}=e^{-b^{2}}\int dq\,e^{-(q^{2}+2bq)},$

on conclut, en faisant $b^{2}=kt$

$e^{kt}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-2q{\sqrt {kt}}},$

donc la valeur précédente de $u$ ou $e^{-x}.e^{kt}$ équivaut à

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-(x+2q{\sqrt {kt}})}\,;$

on pourrait aussi supposer $u$ égale à la fonction

$a\,e^{-nx}\,e^{kn^{2}t},$

$a$ et $n$ étant deux constantes quelconques ; et l’on trouvera de même que cette fonction équivaut à

${\frac {a}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,e^{-n(x+2q{\sqrt {kt}})}.$