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THÉORIE DE LA CHALEUR.

verses conséquences que l’on omettra ici parce qu’elles ont un rapport moins direct avec la question physique. On fera seulement remarquer que ces mêmes équations se présentent quelquefois dans le calcul sous d’autres formes. On obtient par exemple ce résultat :

$\varphi x={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .\left(q\,{\overline {x-\alpha }}\right),\qquad (\mathrm {E} ')$

qui diffère de l’équation (E), en ce que les limites de l’intégrale prises par rapport à $\alpha$ sont 0 et ${\tfrac {1}{0}}$ au lieu d’être $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}}.$ Il faut considérer dans ce cas que les deux équations (E) et (E’) donnent pour le second membre des valeurs égales lorsque la variable $x$ est positive. Si cette variable est négative, l’équation (E’) donne toujours pour le second membre une valeur nulle. Il n’en est pas de même de l’équation (E), dont le second membre équivaut $\pi \,\varphi x,$ soit que l’on donne à $x$ une valeur positive ou une valeur négative. Quant à l’équation (E’) elle résoud le problème suivant. Trouver une fonction de $x$ telle que si $x$ est positive, la valeur de la fonction soit $\varphi x,$ et que si $x$ est négative, la valeur de la fonction soit toujours nulle.

363.

La question de la propagation de la chaleur dans une ligne infinie peut encore être résolue en donnant à l’intégrale de l’équation aux différences partielles une forme différente que nous ferons connaître dans l’article suivant. Nous examinerons auparavant le cas où la source de la chaleur est constante.

Supposons que la chaleur initiale étant répartie d’une manière quelconque dans la barre infinie, on entretienne la