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CHAPITRE IX.

$\mathrm {ou} \quad \pi \,\varphi x=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha .\int \limits _{0}^{\infty }dq\,(\sin .qx\,\sin .q\alpha +\cos .qx\,\cos .q\alpha )$

$\mathrm {ou} \;\mathrm {enfin} \quad \varphi x={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }d\alpha \,\varphi \alpha \int \limits _{0}^{\infty }dq\,\cos .\left(q(x-\alpha )\right).\qquad \qquad (\mathrm {E} )$

L’intégration par rapport à $q$ donne une fonction de $x$ et $\alpha ,$ et la seconde intégration ferait disparaître la variable $\alpha .$ Ainsi la fonction représentée par l’intégrale définie $\int dq\,\cos .(q\,{\overline {x-\alpha }})$ a cette singulière propriété, que si on la multiplie par une fonction quelconque $\varphi \alpha$ et par $d\alpha ,$ et si l’on intègre par rapport à $\alpha$ entre des limites infinies, le résultat est égal à $\pi \,\varphi x\,;$ en sorte que l’effet de l’intégration est de changer $\alpha$ en $x$ et de multiplier par le nombre $\pi .$

362.

On pourrait déduire directement l’équation (E) du théorème rapporté dans l’art. 234, p. 256 et 257, qui donne le développement d’une fonction quelconque $\mathrm {F} x$ en série de sinus et de cosinus d’arcs multiples. On passe de cette dernière proposition à celles que nous venons de démontrer en donnant une valeur infinie aux dimensions. Chaque terme de la série devient dans ce cas une quantité différentielle. Ces transformations des fonctions en suites trigonométriques sont des éléments de la théorie analytique de la chaleur ; il est indispensable d’en faire usage pour résoudre les questions qui dépendent de cette théorie.

La réduction des fonctions arbitraires en intégrales définies, telles que l’expriment l’équation (E), et les deux équations élémentaires dont elle dérive donne lieu à di-