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THÉORIE DE LA CHALEUR.

On a déjà fait usage de cette remarque dans les art. 233 et 234. On sait aussi que chaque état initial donne lieu à un état variable partiel qui se forme comme s’il était seul. La composition de ces divers états n’apporte aucun changement dans les températures qui auraient lieu séparément pour chacun d’eux. Il suit de là qu’en désignant par $v$ la température variable produite par l’état initial que représente la fonction totale $\varphi x,$ on doit avoir

${\begin{aligned}{\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}&\left(\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\cos .qx\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,\mathrm {F} \alpha \,\cos .q\alpha \right.\\&+\left.\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dq\,e^{-kq^{2}t}\sin .qx\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}d\alpha \,f\alpha \,\sin .q\alpha .\right)\end{aligned}}$

Si l’on prenait entre les limites $-{\tfrac {1}{0}}$ et ${\tfrac {1}{0}}$ les intégrales par rapport à $\alpha ,$ il est évident que l’on doublerait les résultats. On peut donc, dans l’équation précédente, omettre au premier membre le dénominateur 2, et prendre dans le second les intégrales pour $\alpha ,$ depuis $\alpha =-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $\alpha =+{\tfrac {1}{0}}$. On voit facilement aussi que l’on pourrait écrire $\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\varphi \alpha \,\cos .q\alpha ,$ au lieu de $\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,\operatorname {F} \alpha \,\cos .q\alpha \,;$ car il résulte de la condition à laquelle est assujettie la fonction $f\alpha ,$ que l’on doit avoir

$0=\int \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha \,\cos .q\alpha ,$