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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$t,$ la température $v$ d’un point dont la distance à l’origine est $x.$

On considérera d’abord la barre échauffée comme ayant une longueur finie $2\mathrm {X}$, et comme étant soumise à une cause extérieure quelconque qui retient ses deux extrémités à la température constante 0 ; on fera ensuite $\mathrm {X} ={\tfrac {1}{0}}.$

352.

On emploiera d’abord l’équation

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{C.D}} .{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-\mathrm {\frac {C.D.S}{H\,L}} v\,;\quad$ ou $\quad {\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-h\,v,$

et faisant

$v=e^{-ht}.u\quad$ on aura $\quad {\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$

on exprimera comme il suit la valeur générale de $u$

${\begin{aligned}u&=a_{1}\,e^{-kg_{1}^{\;2}t}\sin .g_{1}x+a_{2}\,e^{-kg_{2}^{\;2}t}\sin .g_{2}x\\&+a_{3}\,e^{-kg_{3}^{\;2}t}\sin .g_{3}x+a_{4}\,e^{-kg_{4}^{\;2}t}\sin .g_{4}x+\mathrm {etc.} \,;\\\end{aligned}}$

faisant ensuite $x=\mathrm {X} ,$ ce qui doit rendre nulle la valeur de $v$, on aura, pour déterminer la série des exposants $g$, la condition $\sin .g\mathrm {X} =0,$ ou $g\mathrm {X} =i\pi ,$ $i$ étant un nombre entier. Donc

$u=a_{1}\,e^{-k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\,e^{-k{\frac {4\pi ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.}$

Il ne reste plus qu’à trouver la série des constantes $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3},$ $a_{4},$ etc. Faisant $t=0$ on a

$u=\mathrm {F} x=a_{1}\sin .\left(x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{2}\sin .\left(2x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+a_{3}\sin .\left(3x{\frac {\pi }{\mathrm {X} }}\right)+\mathrm {etc.}$