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CHAPITRE IX.

membre tous les termes, excepté un seul : savoir, celui qui contient $q_{j}$ ou $r$. La fonction qui affecte ce même terme est $\mathrm {Q_{j},}$ on aura donc

$\int dx\,\operatorname {F} x.\cos .qx=dq.\mathrm {Q} _{j}{\frac {1}{2}}n\pi ,$

et mettant pour $n\,dq$ sa valeur 1, on a

${\frac {\pi \mathrm {Q} _{j}}{2}}=\int dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx\,;$

on trouve donc en général ${\frac {\pi \mathrm {Q} }{2}}=\int \limits _{0}^{\frac {1}{0}}dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx.$ Ainsi, pour déterminer la fonction $\mathrm {Q}$ qui satisfait à la condition proposée, il faut multiplier la fonction donnée $\operatorname {F} x$ par $dx\,\cos .qx,$ et intégrer de $x$ nulle à $x$ infinie, en multipliant le résultat par ${\frac {2}{\pi }}$ ; c’est-à-dire, que de l’équation

$\operatorname {F} x=\int dq\,fq\,\cos .qx$

on déduit celle-ci, $fq={\frac {2}{\pi }}\int dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx,$ la fonction $\operatorname {F} x$ représentant les températures initiales d’un prisme infini dont une partie intermédiaire seulement est échauffée. En substituant la valeur de $fq$ dans l’expression de $\operatorname {F} x,$ on obtient l’équation générale

${\frac {\pi }{2}}\operatorname {F} x=\int dq\,\,\cos .qx\int dx\,\operatorname {F} x\,\cos .qx\qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {\varepsilon }})$

347.

Si l’on substitue dans l’expression de $v$ la valeur que l’on a trouvée pour la fonction $\mathrm {Q,}$ on a l’intégrale suivante, qui contient la solution complète de la question proposée