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CHAPITRE IX.

pour $u$ la valeur particulière $a\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}$ ; $a$ et $q$ sont des constantes arbitraires. Soient $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}\dots$ etc. une suite de valeurs quelconques, et $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4}\dots$ etc., une suite de valeurs correspondantes du coëfficient $\mathrm {Q,}$ on aura

$u=a_{1}\cos .(q_{1}x)e^{-kq_{1}^{\,2}t}+a_{2}\cos .(q_{2}x)e^{-kq_{2}^{\,2}t}+a_{3}\cos .(q_{3}x)e^{-kq_{3}^{\,2}t}+\mathrm {etc.}$

Supposons 1^o que les valeurs $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}\dots$ etc., croissent par degrés infiniment petits, comme les abscisses $q$ d’une certaine courbe ; en sorte qu’elles deviennent égales à $dq,$ $2\,dq,$ $3\,dq,$ $4\,dq,\dots$ etc. ; $dq$ étant la différentielle constante de l’abscisse ; 2^o que les valeurs $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4}\dots$ etc. sont proportionnelles aux ordonnées $\mathrm {Q}$ de la même courbe, et qu’elles deviennent égales à $\mathrm {\mathrm {Q} _{1}} \,dq$ $\mathrm {Q} _{2}\,dq,$ $\mathrm {Q} _{3}\,dq\dots$ etc. $\mathrm {Q}$ étant une certaine fonction de $q.$ Il en résulte que la valeur de $u$ pourra être exprimée ainsi :

$u=\int dq\,\mathrm {Q} .\cos .qx\,e^{-kq^{2}t}.$

$\mathrm {Q}$ est une fonction arbitraire $fq$, et l’intégrale peut être prise de $q=0$ à $q={\tfrac {1}{0}}.$ La difficulté se réduit à déterminer convenablement la fonction $\mathrm {Q.}$

346.

Pour y parvenir, il faut supposer t$=0$ dans l’expression de $u$ et l’égaler à $\operatorname {F} x.$ On a ainsi l’équation de condition

$\operatorname {F} x=\int dq\,\mathrm {Q} .\cos .qx$

Si l’on mettait au lieu de $\mathrm {Q}$ une fonction quelconque de $q,$